【題目呈現】
如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線x=一1，且經過A(1，0)，C(0，3)兩點，與x軸的另一個交點為B.
(1)若直線y=mx+n經過B，C兩點，求直線BC和拋物線的解析式;
(2)在拋物線的對稱軸x=一1上找一點M，使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小，求點M的座標;
(3)設點P為拋物線的對稱軸x=一1上的一個動點，求使△BPC為直角三角形的點P的座標.
【分析】(1)利用待定係數法可求兩函數的解析式，由於簡單隻寫答案.拋物線的解析式為y=一x²一2x+3，直線BC的解析式為y=x+3.
(2)是典型的將軍飲馬問題.由於點A(1，0)與點B(一3，0)關於對稱軸直線x=一1對稱，則直線BC與直線×=一1的交點，就是使MA十MC最小的點M，∴把x=一1代入直線y=x+3，得y=2，∴所求的點M為(一1，2).
(3)這才是本文的重點，此問是二次函數背景下的直角三角形存在性問題，遇到此類問題該如何考慮呢？
【策略】抓住運動中的不變量，以不變應萬變，萬變不離其宗，充分研究題目中給定的信息，甚至挖掘"隱藏"的不變量，運用分類討論的思想，轉化的思想，使題目分類明確，轉化信息，用已掌握的、熟練的方法來解決問題.本題中∠OBC=45°這個"隱藏"的信息非常有用.
【方法】常見的方法，大了說，就是:代數法與幾何法.代數法，就是設出未知數，依據條件表示相關的量，進而列出方程進行求解.若題是多動點問題，代數法表示出相關的量可能未知數的次數高，或者未知數多，計算量大，理論上行得通，但考查上時間如金，往往不採用;若是單動點問題，相關的量已知或易於表示，未知數少易於解答同時分類簡單明晰.幾何法，能夠很好的利用題中的信息，運用相關的定理，簡化了計算量，但往往分類情況多且需一一畫圖，大多時候往往是代數，幾何混合解題，既分類明晰，又計算簡捷，體現了數與形的完善結合，正所謂，數缺形時少直觀，形缺數時難入微。
【代數法】
設P點座標為(一1，t)，又B點座標為(一3，0)，C點座標為(0，3)，∴BC²=18，PB²=(一1+3)²+t²=4+t²，PC²=(一1)²+(t一3)²=t²一6t+10.
若B為直角頂點，則BC²+PB²=PC²，即18+4+t²=t²一6t+10，解得t=一2;
若C為直角頂點，則BC²+PC²=PB²，即18+t²一6t+10=4+t²，解得t=4;
若P為直角頂點，則PB²+PC²=BC²，即4+t²+t²一6t+10=18，解得t1=3/2+√17/2，t2=3/2一√17/2.
綜上所述，滿足條件的點P共有4個，分別為(一1，一2)或(一1，4)或(一1，3/2+√17/2)或(一1，3/2一√17/2).
【幾何法】
因點P在對稱軸直線x=一1上，又由於△BPC為直角三角形，故可分三種情況討論:
(一).當點B為直角頂點時，點P在直線BC下方的對稱軸上，如圖，
設對稱軸x=一1與x軸交於E點，∵OB=OC=3，∴∠OBC=∠OCB=45°，緊抓這一不變量，而∠CBP=90°，∴∠PBE=45°，可得△BEP為等腰直角三角形，∴BE=PE=OB一OE=2，∴P點座標為(一1，2).
(二)當點C為直角頂點時，點P為直線BC上方的對稱軸上，如圖
設對稱軸直線x=一1與x軸交於點E，與直線BC交於點M，由於∠OBC=45°，則∠BME=∠CMP=45°，則△BEM為等腰直角三角形，BE=ME=2，過點C作CN⊥對稱軸於N，則△CNM，與△PCM都是等腰直角三角形，∴PM=2CN=2，則PE=PM+EM=4，∴P點座標為(一1，4).
(三)當點P為直角頂點時，點P可以在BC上方的對稱軸上，也可在BC下方的對稱軸上.
當點P在BC上方的對稱軸上時，如圖，
過點P作PK⊥y軸於K，由於△BEP，△PKC，△BOC都為直角三角形，可考慮用勾股定理解題，設P點座標為(一1，t)，(t>3)，則KC=t一3，易知BE=2，PE=t，PK=1，∴BC²=OB²+OC²=BP²+CP²，而BP²=BE²+PE²，CP²=PK²+CK²，∴OB²+OC²=BE²+PE²+PK²+CK²，即3²+3²=2²+t²+1²+(t一3)²，解得t1=3/2+√17/2，t2=3/2一√17/2(捨去).∴P點座標為(一1，3/2十√17/2).
另，可過P作MN∥x軸交y軸於N，過點B作y軸的平行線交MN於M，如圖
這時在MN這一條線上出現了三個直角，可用一線三垂直模型來解決，易知△MBP∽△NPC，設P點座標為(一1，t)，則MP=2，PN=1，NC=t一3，MB=t，∴MB/PN=MP/NC，即t/1=2/(t一3)，∴t²一3t一2=0，解得t1=3/2十√17/2，t2=3/2一√17/2(捨去)，∴P點座標為(一1，3/2+√17/2).
當點P在直線BC下方的對稱軸上時，如圖
設對稱軸與x軸交於E點，由於∠BCP∠CBO=45°，∴P點在E點下方，作PN⊥y軸於N，設P點座標為(一1，t)，(t<0)，CN=3一t，易知BC²=BP²+PC²，BP²=BE²+EP²，PC²=PN²+CN²，∴BC²=BE²+EP²+PN²+CN²，即18=2²+(一t)²+1²+(3一t)²，解得t1=3/2一√17/2，t2=3/2+√17/2(捨去)，∴P點座標為(一1，3/2一√17/2).
另，可過P作MN∥x軸交y軸於N，過B點作y軸的平行線交MN於M，如圖
易知△MBP∽△NPC，設P(一1，t)，(t<0)，則MP=2，PN=1，NC=3一t，BM=一t，∴MB/PN=MP/NC，即一t/1=2/(3一t)，解得t1=3/2一√17/2，t2=3/2+√17/2(捨去)，∴P點座標為(一1，3/2一√17/2).
綜上，P點座標為(一1，一2)或(一1，4)或(一1，3/2+√17/2)或(一1，3/2一√17/2).
【總結】代數法，幾何法，各有千秋，一般相互結合甚是完美，同學們認真體會.
閱讀更多 一個數學愛好者 的文章
