初中数学里，三角函数与圆相结合的综合题是中考必考题型，圆提供背景或"舞台"，三角函数"演唱”，二者相互融合建立方程，最终完美地进行了一场饶有趣味，别开生面的"表演”。
【题目呈现】
1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，过点B的切线BP与CD的延长钱交于点P，连接DC，CB.
(1)求证:AE×EB=CE×ED;
(2)若⊙O的半径为3，OE=2BE，CE/DE=9/5，求tan∠OBC的值及DP的长.
【分析】第(1)问相对简单，要证AE×EB=CE×ED，化为比例式，AE/CE=ED/EB，利用"三点定型法”可确定须证△ADE∽△CBE(或△AEC∽△DEB)，这里只给出前一种的图形分析，后一种与前一种类似，如下图，
连接AD，在圆的背景下，依据同弧所对的圆周角相等，可得∠A=∠BCD，又∠AED=∠CEB，∴△AED∽△CEB，∴AE/CE=ED/EB，∴AE×EB=CE×ED.
(2)要求tan∠OBC，则需将∠OBC放在直角三角形中，求出∠OBC所在直角三角形的两直角边的长度，题中给出半径为3，OE=2BE，则OE=2，BE=1，AE=5，又知CE/DE=9/5，可设CE=9a，DE=5a，由(1)知AE×EB=CE×ED，∴5×1=9a×5a，解得a=1/3，∴CE=3，DE=5/3，此时看出OC=CE=3，∴△OCE为等腰三角形，于是过点C作CF⊥AB于点F，如下图，
则OF=EF=OE/2=1，∴EF=EB=1，FB=2，在Rt△OCF中，由勾股定理可得CF=2√2，在Rt△CFB中，∠CFB=90°，∴tan∠OBC=CF/FB=2√2/2=√2，由于BP是⊙O的切线，AB是直径，∴∠EBP=90°，∴∠CFB=∠EBP，又EF=EB，∠CEF=∠PEB，∴△CFE≌△PBE，∴EP=CE=3，∴DP=EP一ED=3一5/3=4/3.
2.如图，在菱形ABCD中，点P在对角线AC上，且PA=PD，⊙O是△PAD的外接圆.
(1)求证:AB是⊙O的切线;
(2)若AC=8，tan∠BAC=√2/2，求⊙O的半径.
【分析】(1)要证AB是⊙O的切线，得连接OA，证∠OAB=90°，如何证呢？须从条件中找直角，注意到条件PA=PD，也就知弧AP=弧DP，于是连接OP，且OP交AD于E，如下图，
则OP⊥AD，AE=DE，∴∠EAP+∠EPA=90°，∵OA=OP，∴∠OAE+∠EAP=∠EPA，∴∠OAE+∠EAP+∠EAP=90°，∵四边形ABCD为菱形，∠EAP=∠PAB，∴∠OAE+∠EAP+∠PAB=90°，即∠OAB=90°，∴直线AB为⊙O的切线.
(2)由于AC=8，tan∠BAC=√2/2，又菱形的对角线互相垂直平分，一条对角线平分一组内对角，∴连接BD交AC于F，如图
则AF=4，tan∠BAC=tan∠DAC=√2/2，∴BF=DF=2√2，在Rt△AFD中，可得AD=2√6，∴AE=AD/2=√6，在Rt△AEP中，PE=tan∠DAC×AE=√2/2×√6=√3，设⊙O的半径为r，则OE=r一PE=r一√3，在Rt△AEO中，由勾股定理可得r²=(√6)²+(r一√3)²，解得r=3√3/2，∴⊙O的半径为3√3/2.
3.如图，四边形ABCD内接于圆O，AB=17，CD=10，∠A=90°，cosB=3/5，求AD的长.
【分析】解法一，由∠A=90°，则可知∠DCB=90°，又cosB=3/5，我们知道，由于给出某个角的三角函数，则可寻找该角所在的直角三角形，再结合其他条件，推导出所求结果，依托∠A=90°，延长AD，BC交于点E，如图，
易知∠B=∠EDC，∴cosB=cos∠EDC=CD/DE=3/5，在Rt△ECD中，∴DE=5/3×CD=50/3，在Rt△EAB中，cosB=AB/BE=3/5，∴BE=85/3，由勾股定理得AE=68/3，∴AD=AE一DE=6.
方法二，依托∠BCD=90°，延长BA，CD交于点E，如图，
易知∠ADE=∠B，∵cosB=3/5=cos∠ADE，依据公式sin²a+cos²a=1，可得sinB=sin∠ADE=4/5，设AD=3m，AE=4m，ED=5m，∴CE=CD+ED=10+5m，EB=AB+AE=17+4m，∴CE/EB=4/5，即(10+5m)/(17+4m)=4/5，解得m=2，∴AD=6.
方法三，过点C作CE⊥AB于E，DF⊥CE于F，如图，易知∠DCF=∠B，
由于CD=10，∴CF=cos∠DCF×CD=3/5×10=6，则DF=8，易知DF=AE，∴EB=AB一AE=17一8=9，在Rt△CBE中，CE=EB/tanB=9÷3/4=12，∴AD=EF=CE一CF=12一6=6.
方法四，给出图形，同学们自己做一下，
当然本题还有其他解法，同学们开动脑筋，大胆地思考吧！
4.如图，AB是⊙O的直径，D，E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE，DE，DF.
(1)求证:∠E=∠C;
(2)若∠E=55°，求∠BDF的度数;
(3)设DE交AB于点G，若DF=4，cos=2/3，E是弧AB的中点，求EG×ED的值.
【分析】(1)由于AB是直径，想到直径所对的圆周角为直径，同时BD=CD，则AD垂直平分BC，如图，
则∠B=∠C，又∠E，∠B都对弧AD，∴∠E=∠B，∴∠E=∠C.
(2)若∠E=55°，则∠B=∠E=55°，在Rt△ADB中，可得∠DAB=35°，由(1)知∠FAB=2∠DAB=70°，由于圆内接四边形对角互补，可得∠AFD=125°，在四边形ABDF中，可得∠BDF=110°.
(3)由于E为弧AB的中点，想到连接OE，如图
则OE⊥AB，△AOE为等腰直角三角形，AE=AO√2，由于∠B=∠C，又∠B=∠CFD，∴∠C=∠CFD，CD=DB=DF=4，在Rt△ADB中，∵cosB=2/3，即DB/AB=2/3，∴AB=6，∴AO=OE=3，AE=3√2.那么EG×ED又如何算呢？我们要熟记下图的相似模型，如图，
△AEG与△DEA中，∠E共用，若∠D=∠EAG(或∠AGE=∠DAE)，则△AEG∽△DEG，则AE/ED=EG/AE，即AE²=EG×ED，我们观察到AE为公共边，EG与ED在一条直线上，若能熟悉这一模型，自然想到证△AEG∽△DEA，由于E为弧AB的中点，则∠ADE=∠BDE，又∠EAG=∠BDE，∴∠ADE=∠EAG，而∠E共用，∴△AEG∽△DEA，∴AE²=EG×ED=(3√2)²=18.
5.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连接AC，过弧BD上的一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG=FG，连接CE.
(1)求证:△ECF∽△GCE;
(2)求证:EG是⊙O的切线;
(3)延长AB交GE的延长线于点M，若tanG=3/4，AH=3√3，求EM的值.
【分析】依条件联想相关知识，向结论靠拢，本题，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，想到垂径定理，从而弧AD=弧AC，想到同弧所对的圆周角相等，由EG=FG，可得底角相等，由EG∥AC，想到内错角相等.
(1)△ECF与△GCE，共用∠GCE，EG∥AC，得∠ACD=∠G，由AB⊥CD，得弧AD=弧AC，∴∠AEC=∠ACD，∴∠G=∠AEC，则△ECF∽△GCE.
(2)要证EG是⊙O的切线，须连接OE，如图，
则∠AEO=∠EAO，又EG=FG，∴∠GEF=∠GFE，而∠GFE=∠AFH，∴∠GEF=∠AFH，又∠AFH+∠EAO=90°，∴∠GEF+∠AEO=90°，即∠GEO=90°，∴EG是⊙O的切线.
(3)∵∠ACD=∠G，∴tan∠ACD=tanG=3/4，又AH=3√3，∴HC=4√3，这时我们想到平时垂径定理的有关习题，可算出半径，设OC=r，OH=r一3√3，连接OC，如图，
在Rt△HOC中，(r一3√3)²+(4√3)²=r²，解得r=25√3/6，由于GM∥AC，∴∠M=∠CAH，∴tanM=tan∠CAH=HC/AH=4/3，在Rt△OEM中，tanM=OE/EM，∴EM=OE/tanM=25√3/6÷4/3=25√3/8.
当然，也可用△AHC∽△MEO，求得EM.
【总结】依据条件，联想相关概念，公式，定理，数学模型，自己的经验总结，步步为营向结论靠拢，最终解决问题，所以需要同学们，一方面熟记基础知识，另一方面，总结解题经验，提高自己的分析问题，解決问题的能力.
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