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四川大学在读研究生
简
介
最近一直在寻找方便上手的地图包,实验了google地图包,百度地图包,发现还是有很多限制。
百度地图包搭配的REmap总是崩溃,
google地图包ggmap现在需要国际信用卡注册,总之,都不甚满意。
虽然ggplot2地图功能非常丰富,但是还是不够简单快捷。
尤其是当我们仅仅需要绘制一些简单的地图时。
经过圈子大佬的推荐,开始尝试leaflet包,确实给我很多惊喜。
leaflet包相对其它地图包,有很多优点和缺点,
首先,绘制地图简单快捷,因为都是基于供应商的tiles,一行代码就可以render出基本widget地图。
支持管道传参,一个图层一个图层进行添加,代码结构更加清晰。
其次,有很多tiles供应商可以选择,包括高德、google、Stamen, Esri, OpenWeatherMap,NASA,
等好几十个tiles供应商。当然其中一些需要注册。其中的google可以绕过注册,已经很难得了。
对于在地图上添加markers图标,shapes形状,线条等,异常方便快捷,这在ggplot2中很难做到的。
支持栅格数据,rasters栅格数据是基于像素点的地图。可以看出,leaflet具有很强的包容性。
支持多种投影坐标系,甚至可以自定义坐标系,这在某些特殊场景非常重要。
当然还有更重要的是,其具有一定交互能力,可以缩放拖拽,
简单的图层切换也不需要使用Shiny。使得更容易上手。
其它特点,首先tiles是基于供应商的,必须联网,
其次对颜色支持不一样,只支持HEX颜色空间和colors()中的颜色名称。 当然内置的几个palette函数,非常特别。
总之,笔者认为leaflet包与ggplot2包的互补性非常好,刚好弥补了ggplot2中画地图的不足。
对于大量数据需要呈现在地图上的场景,还是`ggplot2, leaflet中插入其它plots不便也没有必要。
下面是笔者总结的中文教程,使得新人能更快上手。
说明:以下图片皆为截图,限于技术问题,不能完全展现它的交互式功能。
1.Widget设置
Widget地图框的设置,就是确定Widget的基本参数,
包括CRS坐标系,widget的中心坐标,zoom level(缩放)的范围, widget边界坐标,data数据等。
1.1
leafletOptions()
leaflet()中有个options参数,用leafletOptions()函数来指定,可以控制widget缩放范围。
语法:
1leafletOptions(minZoom = NULL, maxZoom = NULL, crs = leafletCRS(),
2 worldCopyJump = NULL, preferCanvas = NULL, ...)
关键参数:
- minZoom,表示最低缩小倍数,作用于所有地图层。
- maxZoom,表示最高放大倍数,作用于所有地图层。
- crs, 表示指定坐标系统,
- preferCanvas, 表示是否将leaflet.js路径呈现在地图上。
1library(leaflet)
2
3leaflet(options = leafletOptions(minZoom = 0, maxZoom = 18))
1.2
中心、缩放、边界
关键函数:
- setView() ,设定地图的view(包括center位置和zoom level)
- flyTo() ,切换到一个指定的location或zoom-level,使用光滑的pan-zoom
- fitBounds() ,设定地图矩形区域边界。view将限制在[lng1, lat1] - [lng2, lat2]
- flyToBounds() ,切换到一个指定的地图矩形区域边界,使用光滑的pan/zoom
- setMaxBounds() ,限定地图矩形区域最大边界
- clearBounds() ,清除地图矩形区域边界, 然后view将只会受地图层的经度和纬度数据限制。
语法:
- setView(map, lng, lat, zoom, options = list())
- flyTo(map, lng, lat, zoom, options = list())
- fitBounds(map, lng1, lat1, lng2, lat2, options = list())
- flyToBounds(map, lng1, lat1, lng2, lat2, options = list())
- setMaxBounds(map, lng1, lat1, lng2, lat2)
- clearBounds(map)
参数解释:
- map,表示leaflet()创建的map widget
- lng, 表示map center的经度, 东经为正
- lat, 表示map center的纬度,北纬为正
- zoom, 表示zoom level
- options, 列表传参,传递zoom或pan参数。
- lngl, latl, lng2, lat2, 表示widget边界的坐标。
1library(leaflet)
2
3# 设定中心坐标和zoom level
4m % addTiles() %>% setView(-71.0382679, 42.3489054, zoom = 18)
5
6# 显示第一个view
7m %>% fitBounds(-72, 40, -70, 43) # 设定view边界
8
9# 显示第二个view
10m %>% clearBounds() # 清除边界限制, leaflet()默认为世界地图
1.3
Data数据
这里的Data不仅仅是画地图上行政区域的数据,而且包括要在地图上呈现的数据。
大多数图层添加函数都有data参数,通常使用%>%管道符逐渐传递data参数。
leaflet()通常支持下列几种形式的数据。
- 矩阵数据(由经度和纬度构成)。
- 数据框(由经度和纬度构成)。
- 从sp包传递的数据,包括:
- SpatialPoints(数据框类型)
- Line()/Lines()
- SpatialLines()(数据框类型)
- Polygon()/Polygons()
- SpatialPolygons()(数据框类型)
- 从maps包传递的数据,主要是map()函数传递的数据框。
对于经度和纬度组成矩阵或数据框类型数据,在调动data添加图层时,会根据变量名进行猜测匹配:
- 若变量名称为lat,或latitude等,则猜测为纬度,猜测时,不区分大小写。
- 若变量名称为lng, long或 longitude等,则猜测为经度,猜测时,不区分大小写。
也可以手动指定经度和纬度变量,使用~语法。
在参数传递过程中,默认后面的data参数覆盖前面data参数。
1.3.1 data中经纬度的指定/猜测/覆盖
1library(leaflet)
2
3# 自动猜测匹配
4set.seed(123)
5df 6leaflet(df) %>% addCircles()
7
8# 手动指定经度和纬度变量,结果一样 leaflet(df) %>% addCircles(lng = ~Long,
9# lat = ~Lat)
10
11# 在add_xxx()函数中重新指定参数进行覆盖,结果一样 leaflet() %>%
12# addCircles(data = df) leaflet() %>% addCircles(data = df, lat = ~Lat, lng
13# = ~Long)
1.3.2 sp对象的data
1library(leaflet)
2library(sp)
3library(RColorBrewer)
4
5Sr1 6Sr2 7Sr3 8Sr4 9
10
11Srs1 12Srs2 13Srs3 14
15# 列表传参,传递多个多边形参数
16SpP 17
18leaflet(height = "300px") %>% addPolygons(data = SpP, fillColor = brewer.pal(3,
19 name = "Set1"))
1.3.3 从maps包中获取data
1library(leaflet)
2library(maps)
3library(RColorBrewer)
4
5mapStates 6leaflet(data = mapStates) %>% addTiles() %>% addPolygons(fillColor = brewer.pal(10,
7 name = "Paired"), stroke = FALSE)
1.3.4 其它参数
其它绘图参数支持R自带的数据类型,如:向量,颜色向量,数据框,同样支持用~指定。
1library(leaflet)
2
3# 随便编一个数据
4m % addTiles()
5df 6 color = sample(colors(), 100))
7
8m % addTiles()
9# circle图标的半径不随zoom变化:
10m %>% addCircleMarkers(radius = ~size, color = ~color, fill = FALSE)
11# circle图标的半径不随zoom变化:
12m %>% addCircleMarkers(radius = runif(100, 4, 10), color = c("red"))
2.Basemaps底图
leaflet支持Tilemap类型的底图,
leaflet支持多种免费第三方providers的tiles, 包括Stamen, Esri, OpenWeatherMap等,
用names(providers)可以查看所有的providers。
2.1
默认Tiles(OpenStreetMap)
使用addTiles()函数添加tiles并使用默认参数,默认即是OpenStreetMap,即街区Tiles。
1library(leaflet)
2
3m % setView(lng = -71.0589, lat = 42.3601, zoom = 12)
4m %>% addTiles() # 显示街区图
2.2
第三方 Tiles
调用addProviderTiles()函数,在参数providers$后面加tiles供应商的名字就行了。 需要注意:部分第三方tiles需要注册。
通过options参数调用providerTileOptions()函数可以规避部分tiles的注册。
如果有定制的tiles模板的URL链接,可以在addTiles()函数中调用。
1library(leaflet)
2
3m % setView(lng = -71.0589, lat = 42.3601, zoom = 12)
4
5# 使用Stamen.Toner 的 tiles
6m %>% addProviderTiles(providers$Stamen.Toner)
2.3
巧妙的数据转换
通过调用函数addWMSTiles()可以添加WMS(Web Map Service)的tiles。
Web地图服务(WMS)是一种标准协议,描述如何通过Internet提供任何地理配准的地图图像,
这通常由使用来自地理信息系统数据库的数据的地图服务器生成。
协议标准由Open Geospatial Consortium(OGC)开发,
并于1999年首次发布.WMS提供了一种使用HTTP接口请求地理注册地图图像的简单方法。
WMS供应商(https://en.wikipedia.org/wiki/Web_Map_Service)
下图是调用WMS的tiles,显示降雨量的图数据来源(http://mesonet.agron.iastate.edu/)。
1library(leaflet)
2
3leaflet() %>% addTiles() %>% setView(-93.65, 42.0285, zoom = 4) %>% # 叠加一个WMS的tiles图层
4addWMSTiles("http://mesonet.agron.iastate.edu/cgi-bin/wms/nexrad/n0r.cgi", layers = "nexrad-n0r-900913",
5 options = WMSTileOptions(format = "image/png", transparent = TRUE), attribution = "Weather data 2012 IEM Nexrad")
2.4
Tiles图层叠加
多个Tiles图层也可以叠加, 但是这种情况通常仅用于表层tiles是半透明的情况下,
或在options参数中手动指定不透明度opacity。
opacity从0(完全透明)到1(完全不透明)。
1library(leaflet)
2
3m % setView(lng = -71.0589, lat = 42.3601, zoom = 12)
4
5m %>% addProviderTiles(providers$MtbMap) %>% # 底层tiles
6 addProviderTiles(providers$Stamen.TonerLines, # 叠加一层tiles,显示公路和街道
7 options = providerTileOptions(opacity = 0.35)) %>% # opacity设定非透明度
8 addProviderTiles(providers$Stamen.TonerLabels) # 叠加tiles,显示公路名,街道名,机场图标。
3.Markers(图标)
使用图标用于标记地图上特殊的点。图标的位置通过经纬度指定。
leaflet中,图标可以分为:icon,circle图标,clusters(簇),共3类。
Markers坐标获取途径:
- SpatialPoints()/SpatialPointsDataFrame() (sf包)
- POINT, sfc_POINT或sf对象(sf包), 只有x,y维度的数据才能被使用。
- 只有2列的矩阵(第1列为经度,第2列为纬度)
- 含经度列和纬度列的数据框,
- 同样默认猜测匹配,也可以手动指定,如: addMarkers(lng = ~Longitude, lat = ~Latitude)。
- 用1个数字向量指定lng或lat参数。
注意:不支持sf包中的 MULTIPOINT对象。
3.1
icon图标
icon图标的添加分为几类:
- addMarkers()函数,添加leaflet中内置一种icon。
- makeIcon()指定addMarkers()函数内的icon参数,
- 添加URL链接(包括file path)中的一种icon。
- icons()指定addMarkers()内的icon参数,同时添加几种icon。
- iconList()与addMarkers()函数联用,同时添加很多种icon。
- addAwesomeMarkers()函数,添加awesome icons。
3.1.1 内置icon(addMarkers())
默认Icon为雨滴状图标(dropped pin)。
与大多数图层绘制函数一样,popup参数可以用来指定一个message,当点击该Icon则显示该message;
label参数可以用来指定一个文本标签,可以是浮动的或静止的。
1library(leaflet)
2data(quakes)
3
4# 索引quakes前20行数据进行显示。
5leaflet(data = quakes[1:20, ]) %>% addTiles() %>%
6# 增加图标图层,标签显示为quakes中的mag变量
7addMarkers(~long, ~lat, popup = ~as.character(mag), label = ~as.character(mag))
3.1.2 自定义icon(makeIcon())
自定义Icon图标,可以通过URL链接或文件路径来指定。
对于单独一个Icon,若要映射到多个数据点,则可以使用makeIcon()函数制作一组Icon图标,
然后再调用addMarkers()函数增加Marker图层。
免费Icon下载(https://icons8.com/icons)
1library(leaflet)
2data(quakes)
3
4# 制作一组Icon
5greenLeafIcon 6 iconUrl = "E:/R_input_output/images_input/leaf-green.png", # 使用文件路径指定
7 iconWidth = 38, iconHeight = 95, # 设定当个Icon的相对长宽。
8 iconAnchorX = 22, iconAnchorY = 94, # 定位点相对位置(在IconWidth和IconHeight内)
9 shadowUrl = "E:/R_input_output/images_input/leaf-shadow.png", # 阴影Icon
10 shadowWidth = 50, shadowHeight = 64,
11 shadowAnchorX = 4, shadowAnchorY = 62
12)
13
14leaflet(data = quakes[1:4,]) %>% addTiles() %>%
15 addMarkers(~long, ~lat, icon = greenLeafIcon) # 增加Icon图层
3.1.3 icons()(多种icons)
若多个Icons图标尺寸等参数一致,仅仅URLs不一样,使用icons()制作Icon图标组合非常方便,
icons()语法与data.frame()类似,参数都可以用向量指定,短的参数将会循环补齐。
1library(leaflet)
2data(quakes)
3
4quakes1 5
6leafIcons 7 iconUrl = ifelse(quakes1$mag < 4.6, # 若mag < 4.6为真
8 "E:/R_input_output/images_input/leaf-green.png", # test = TRUE
9 "E:/R_input_output/images_input/leaf-red.png" # test = FALSE
10 ),
11 iconWidth = 38, iconHeight = 95, # length = 1, 循环补齐
12 iconAnchorX = 22, iconAnchorY = 94, # length = 1, 循环补齐
13 shadowUrl = "E:/R_input_output/images_input/leaf-shadow.png", # length = 1, 循环补齐
14 shadowWidth = 50, shadowHeight = 64, # length = 1, 循环补齐
15 shadowAnchorX = 4, shadowAnchorY = 62 # length = 1, 循环补齐
16)
17
18leaflet(data = quakes1) %>% addTiles() %>%
19 addMarkers(~long, ~lat, icon = leafIcons) # 传递制作的Icons参数
20
3.1.4 icon列表(iconList())
若一些Icons的参数相差很大,此时使用iconList()函数更加方便,
相当于创建一个列表将makeIcon()创建icons包裹起来。然后整体传递给addMarkers()。
1library(leaflet)
2
3# iconList()制作icons组成的列表
4oceanIcons 5 ship = makeIcon(iconUrl = "E:/R_input_output/images_input/cargo-ship.png", # 使用文件路径指定
6 iconWidth = 30, iconHeight = 20), # 设定当个Icon的相对长宽。
7 pirate = makeIcon(iconUrl = "E:/R_input_output/images_input/pirates-caribbean.png", # 使用文件路径指定
8 iconWidth = 30, iconHeight = 30) # 设定当个Icon的相对长宽。
9)
10
11# 编造一个数据
12df 13 cbind( # 列合并后为一个4列20行的数据框
14 (runif(20) - .5) * 10 - 90.620130, # 经度
15 (runif(20) - .5) * 3.8 + 25.638077 # 纬度
16 ),
17 data.frame(type = factor(
18 ifelse(runif(20) > 0.75, "pirate", "ship"), # test > 7.5为真,则type = "pirate"
19 c("ship", "pirate") # length = 2 < 20, 循环补齐
20 ))
21)
22
23leaflet(df) %>% addTiles() %>%
24 addMarkers(icon = ~oceanIcons[type]) # 使用type中的元素匹配oceanIcons中的列名。
3.1.5 Awesome icons(addAwesomeMarkers())
leaflet中可以使用定制Icons的颜色,
使用addAwesomeMarkers()添加awesome icons, 用法与addMarkers()类似。
awesome icons库:fontawesome,glyphicon,ionicons。
在addAwesomeMarkers()中可以用library参数指定awesome icons库。
默认为library = "glyphico", library = "fa"表示fontawesome库, library = "ion"表示ioncons库,
与icons()和iconList()函数可以用于addMarkers()类似,
awesomeIcons()和 awesomeIconList()函数可以用于 addAwesomeMarkers()以添加多个icons。
1library(leaflet)
2data(quakes)
3
4df.20 5
6# 创建颜色向量函数,mag <= 4 为绿色,mag = 5为橙色, mag > 5为红色
7getColor 8 sapply(quakes$mag, function(mag) {
9 if(mag <= 4) {
10 "green"
11 } else if(mag <= 5) {
12 "orange"
13 } else {
14 "red"
15 } })
16}
17
18icons 19 icon = 'flash', # icon名字为"flash"(闪电),名字可以从前面库的网站上查看
20 iconColor = 'black', # 指定icon颜色
21 library = 'ion', # 指定icons库为ionicons
22 markerColor = getColor(df.20) # 指定markers颜色
23)
24
25leaflet(df.20) %>% addTiles() %>%
26 addAwesomeMarkers(~long, ~lat, icon=icons, label=~as.character(mag))
3.2
Marker clusters(图标簇)
当地图上存在大量的图标,可以通过设置clusterOptions参数以簇的形式插入。
好处是,缩小地图后,图标聚集成簇,放大地图后,簇散开为多个图标。 簇上可以显示该簇包含图标的数目。
3.2.1 添加簇(clusterOptions参数)
使用markerOptions()设定单个簇的参数。
对于多个簇,同样可以用列表传递多个簇参数,使用markerClusterOptions()函数。
1library(leaflet)
2
3# cache = TRUE使用上个代码块的数据
4leaflet(quakes) %>% addTiles() %>% addAwesomeMarkers(~long, ~lat, icon = icons,
5 label = ~as.character(mag), clusterOptions = markerClusterOptions() # 设置簇
6)
3.2.2 簇冻结(freezeAtZoom参数)
使用markerClusterOptions()中的freezeAtZoom参数可以设定簇冻结在一个zoom level。
这样缩放地图时,簇是否散开取决于冻结时的zoom level高低。
例如下图中,设置freezeAtZoom = 5
1library(leaflet)
2
3leaflet(quakes) %>% addTiles() %>% addAwesomeMarkers(~long, ~lat, icon = icons,
4 label = ~as.character(mag), clusterOptions = markerClusterOptions(freezeAtZoom = 5) # 冻结簇在zoom level = 5
5)
3.3
circle图标
circle图标与circle形状不一样:
- circle Markers 属于图标,其尺寸是像素尺寸,不随zoom level变化而变化。
- 而circles 属于形状,与多边形是一类,其尺寸是以“米”为单位,随zoom level 变化而变化。
使用addCircleMarkers()函数添加圆圈图标。 语法:
1addCircleMarkers(map, lng = NULL, lat = NULL, radius = 10,
2 layerId = NULL, group = NULL, stroke = TRUE, color = "#03F",
3 weight = 5, opacity = 0.5, fill = TRUE, fillColor = color,
4 fillOpacity = 0.2, dashArray = NULL, popup = NULL,
5 popupOptions = NULL, label = NULL, labelOptions = NULL,
6 options = pathOptions(), clusterOptions = NULL, clusterId = NULL,
7 data = getMapData(map))
关键参数:
- radius, 表示指定circles的半径,为数字向量或~引导的表达式。
- stroke, 表示是否显示路径阴影, 默认stroke = TRUE显示路径阴影,这样圆环就出现了阴影边框。
- color, 表示指定stroke的颜色。
- weight, 表示指定stroke像素宽度。
- opacity, 表示指定stroke透明度,opacity从0(完全透明)到1(完全不透明)。
- fill, 表示是否填充路径颜色(如填充多边形和园环)
- fillColor, 表示指定fill颜色。
- fillOpacity, 表示指定fill头透明度,opacity从0(完全透明)到1(完全不透明)。
- dashArray, 表示指定stroke线型,为数字类型字符串。原理与ggplot2中自定义线型类似。
- 如dasharray = "4 1 2"表示:先闭合4个像素长度,然后缺口1,再闭合2,再缺口4,闭合1,缺口2。
1library(leaflet)
2
3# 默认circles参数
4leaflet(df) %>% addTiles() %>% addCircleMarkers()
5
6# stroke = FALSE去掉路径阴影
7leaflet(df) %>% addTiles() %>% addCircleMarkers(radius = 15, stroke = FALSE) %>%
8
9# fill = FALSE空心圆环
10addCircleMarkers(radius = 15, color = "magenta", weight = 8, opacity = 0.2,
11 fill = FALSE) %>%
12# 分别指定stroke和fill不同的颜色。并调整透明度
13addCircleMarkers(radius = 60, color = "lime", weight = 8, opacity = 0.8, fillColor = "cyan",
14 fillOpacity = 0.3, dashArray = "5 2")
不同半径的circles:
addCircleMarkers()中的参数同样可以用向量指定,如下图:
1library(leaflet)
2
3# 定义一个色板函数
4pal 5
6leaflet(df) %>% addTiles() %>%
7 addCircleMarkers(
8 radius = ~ifelse(type == "ship", 6, 10), # 分别设置半径,ship半径为6,pirate半径为10
9 color = ~pal(type), # 色板函数匹配
10 stroke = FALSE, fillOpacity = 0.5
11 )
4.信息提示框
给标记点增加信息提示框有4种方式:
- 使用addPopups()在地图中添加单个popup。
- 在图标或形状添加函数中,指定popup参数。
- 在图标或形状添加函数中,指定labelOptions参数。
- 使用addLabelOnlyMarkers()函数创建无图标labels。
4.1
addPopups
popups是包含HTML链接的提示框,用于显示标记点的文本信息。
popup最常见的用法是,当点击图标时才出现在地图上。
1library(leaflet)
2
3# 生成popup框内信息
4content ", # 分隔符为html语法的换行符
5 # 单引号内为HTML链接,单引号后为HTML显示标签
6 "",
7 "606 5th Ave. S",
8 "Seattle, WA 98138"
9)
10
11leaflet() %>% addTiles() %>%
12 addPopups(-122.327298, 47.597131, popup = content, # 将HTML语法支持的文本内容传递给popup
13 options = popupOptions(closeButton = FALSE) # popupOptions()中设定popups的尺寸和样式
14 )
4.2
popup参数
图标和形状的添加函数中都有一个popup参数。
当存在大量不含HTML链接的popups时,可以使用htmltools::htmlEscape()函数,
以避免将字符串作为html语言进行转义,直接输出字符串到popup框。
1library(leaflet)
2library(htmltools) # 为了调用htmlEscape()函数,
3
4# 创建一个数据框
5df 6Samurai Noodle,47.597131,-122.327298
7Kukai Ramen,47.6154,-122.327157
8Tsukushinbo,47.59987,-122.326726"))
9df
10
11leaflet(df) %>% addTiles() %>% addMarkers(~Long, ~Lat, popup = ~htmlEscape(Name)) # 默认点击Marker才出现popup
4.3
labelOptions()
labels内容包括文本和HTML链接内容。 用labelOptions()函数指定labelOptions参数。
关键参数:
- noHide, 为逻辑值,FALSE表示仅当鼠标指针悬浮到marker上,才显示label;
- TRUE,则一直显示label。
- textOnly,为逻辑值, TRUE表示只显示文本,不显示提示框。
- style,表示设定信息框的样式,列表传参。
- 可以设定label的颜色,字体,字型,字体大小,边框线颜色,边框阴影等。
1library(leaflet)
2
3leaflet() %>% addTiles() %>% setView(-118.456554, 34.09, 13) %>%
4
5 addMarkers(
6 lng = -118.456554, lat = 34.105,
7 label = "Default Label",
8 labelOptions = labelOptions(noHide = T)) %>% # 不隐藏的popups
9
10 addMarkers(
11 lng = -118.456554, lat = 34.095,
12 label = "Label w/o surrounding box",
13 labelOptions = labelOptions(noHide = T, textOnly = TRUE)) %>% # 只显示文字,不显示提示框
14
15 addMarkers(
16 lng = -118.456554, lat = 34.085,
17 label = "label w/ textsize 15px",
18 labelOptions = labelOptions(noHide = T, textsize = "15px")) %>% # 修改提示框大小,文本大小随之变化
19
20 addMarkers(
21 lng = -118.456554, lat = 34.075,
22 label = "Label w/ custom CSS style",
23 labelOptions = labelOptions(noHide = T, direction = "bottom", # 修改提示框相对位置
24 style = list( # 修改提示框文本样式,列表传参
25 "color" = "red", # 设定文本颜色为红色
26 "font-family" = "serif", # 设置字体
27 "font-style" = "italic", # 设置字型为斜体
28 "box-shadow" = "3px 3px yellow", # 设置提示框边框线阴影尺寸和边框阴影颜色
29 "font-size" = "12px", # 设置字体大小为12个像素点
30 "border-color" = "cyan" # 设置提示框边框线颜色
31 ))
32 )
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