大牙
什麼是勾股數？凡兩個非零實數（a、b)的平方等於第三個實數（c)的平方，則稱這三個數為一組勾股數．勾股數肯定是無限組的，在整數範圍內，勾股數如何來構造呢？今天學霸數學分享四種構造的方法：
一.從３n，４n，５n談起
眾所周知，３，４，５是整數範圍下最簡單的勾股數，它們依次相差１，可以證明在整數範圍內依次相差１的勾股數，只有（３，４，５）這一組．證明如下
同樣的可以證明，依次相差2的三個整數構成的勾股數只有（6，8，10）一組．所以當依次相差n時，只有（3n,4n,5n)一組．
二．勾股數組２
三．勾股數組３
四．勾股數組４
以上四種勾股數組中會有相同的勾股數，下面給出大家可能沒有見過的勾股數
學霸數學
在百度上查到120有十四組勾股數，1155有十六組勾股數。我把120算出二十八組。1155算出共有三十四組勾股數。比如6：在百度裡有一組勾股數，因為我知道勾股數的本質結構，我可以準確無誤算出數學史上最全的自然數勾股數組。
比如每一個質數都能生成一組勾股數，勾股數因質因數量不同,會形成勾股數組量的不同。如41形成一組勾股數為：41━840━841。如43會形成43━924━925。比如2x3=6會有四組勾股數，如2x3X5=30，會有九組勾股數，如120同過質因數分解為2x2x2x3x5=120會生成28組勾股數。如1155同過質因數分解3x5x7x11=1155會生成34組勾股數。
但是如6是奇偶數的乘積是帶有0.5的性質的，不是說一個6，而是所有的奇偶數的乘積形成偶數都帶有多組0.5的這種現象。如果勾股數的定義要求c²=a²+b²都是正整數。對勾股數的存在本質定義問題。
6的質因數分解：
6━17.5━18.5
6━4.5━7.5
6━2.5━6.5
6━8━10
120因數分解（P1，P1，P1）=2，P2=3，P3=5。
求出120勾股數組如下：
a²+b²=c²
120―7199.5―7200.5
120━3566━3601
120━1798━1802
120━896━904
120━442━458
120━209━241
120━2398.5━2401.5
120━472.5━487.5
120━795.5━804.5
120━137.5━182.5
120━275.5━300.5
120━80.5━144.5
120━58.5━133.5
120━1197━1203
120━594━606
120━288━312
120━126━174
120━27━123
120━715━725
120━350━370
120━160━200
120━100━180
120━182━218
120━391━409
120━64━136
120━119━169
120━44━144
120━35━125
下面是1155解出精準勾股數如下：
1155 ━1292━1733
1155━1656━2019
1155━1960━2275
1155━2288━2563
1155━2600━2845
1155━2772━3003
1155━2852━3077
1155━3724━3899
1155━3960━4125
1155━4464━4611
1155━5452━5573
1155━6688━6787
1155━8624━8701
1155━8856━8931
1155━667012━667013
1155━1100━1595
1155━1008━1533
1155━540━1275
1155━396━1221
1155━44460━44475
1155━31752━31773
1155━19040━19075
1155━12100━12155
1155━20196━20229
1155━60632━60643
1155━222336━222339
1155━133400━133405
1155━95284━95291
1155━6300━6405
1155━1540━1925
1155━68━1157
1155━74108━74117
1155━26668━26693
1155━13588━13637
大家可以嚴格驗證。
窺探數字結構
先來說答案，很明顯是無限多組。
這還涉及到無窮大的比較問題。
比如兩個集合。集合A＝正整數集1，2，3，4，5… 集合B＝正整數的平方數集1，4，9，16，25…
比較這兩個集合大小，第一眼看直接會人為正整數集大，因為數的密度比較大，但仔細想一下。每個正整數都能找到它對應的平方數，所以兩個集合應該一樣大。。所以無窮大是不能比較的，這也是為什麼∞+1無意義的原因。
回到這個問題，以最簡單的勾股數3，4，5為例。可以擴充出整個正整數集的倍數。也就是直觀的1倍，2倍，3倍，4倍…
既然正整數集是無窮大的，那勾股數就是無限多。
家住海邊特能浪
肯定是無限的，就拿3，4，5來說，這是一組勾股數，它們的2倍6，8，10也是勾股數，3倍9，12，15也是勾股數，即3，4，5同時擴大任意倍數都是勾股數，倍數可以無限增大，除此以外還有其它系列的勾股數，如5，12，13，等等，還有很多，不一一列舉了，因此勾股數也是無限多的。
愛彈吉他的攝影師
3 4 5 5 12 13 這兩組等比例擴大 可以得到無數組 凡事先動動腦子 再過來問
在中條山上心靜靜地
可以畫多少個直角三角形，就有多少個，因此，無數個。
丶頌風
最常見的勾股數3,4,5
故3k,4k,5k(k是正整數)都是勾股數，因為（3k）²+（4k）²=（5k）²，k可以約掉。
那麼，其他勾股數，也類似。
惜歡娛樂君
0°到45°之間有無數個∠，自然有無數個既不相似，也不相等的rt三角形，自然有無數個勾股數組。。。
南煙齋筆談
是無限多組，當然也兩兩互質的，有通式。
