從物理到數學的演繹
1.單擺方程
單擺週期不變性
下圖描述單擺的擺動過程,設某個時刻t，擺偏離中心的角度為θ,由於地球引力與
杆拉力的合力作用會使得小球在圓弧的切線方向產生加速度，力的大小為
|F|=mgsinθ。重錘重心離開中心平衡位置的弧線位移量可以表示成x=θl,
圖1
θ=x/l,由於sinθ/θ->1, θ->0，sinθ=θ+o（θ）≈x/l
力F在中垂點時為0，在其他位置時總會指向中垂點，設x在中垂位置的左
邊為正，右邊為負，F方向剛好與x方向相反。所以
F=-mgx/l
加速度是速度的導數，而速度是位移的導數，所以加速度是位移的二次導數，
由牛頓第二定律，重錘所受的力大小為：
F=mx’’
所以 mx’’=-mgx/l 消掉m得到
x’’=-g/lx。。。。。。。。（1）
這個式子叫單擺方程，顯然它是個二次微分方程。我們試解這個方程
（sint）’’=-sint，但代入方程(1)中，還差個係數g/l。用待定係數法
只要取
就可以了,分析下
的量綱,剛好為時間。再看
,應該是個以
為最小週期往復運動的量,為了符合實際的物理現實情況,重錘重心的軌跡可
以用方程
來表示.
代表t=0時刻的偏角，而A就代表著最大擺幅。位移x是時間的函數，在平衡位置
的一邊x為正，另外一邊為負，做週期為
的運動。
以上推導確實表明：在小角度時，單擺的擺動週期與幅角無關，只與擺長l以
及重力加速度有關係。時間確實可以用擺動頻率來加以計量，頻率的量綱就
是1/s，代表每秒週期變化多少次的意思。這種分析可以看做物理數學方法，
對17世紀後期的物理學家來說得到單擺週期與幅度無關只與擺的長度有關的
數學證明已經是大成果了。
2.三角函數的指數表示形式
的解具有
的形式，僅停留於此還不是歐拉的風格，他要繼續試方程（1）
還有什麼類型的通解形式。首先y=sinx，y=cosx是最簡單的特解。
這個函數當然不能是方程（1）的特解，因為
，
差了一個符號，
也不行，
這樣
找到了這樣的兩個新特解。現在他要將這兩個截然不同的函數連繫在一起，
根據微積分基本定理，導數與積分為互逆運算，那麼必然有：
令x=Π就得到：
圖2
數學全部的核心“部件”：0，1，e，Π，i集成於一式。最基礎的部件是0，1，e在下面起支撐作用，最基礎的加號與等號就是這些量之間關係的說明！
歐拉研究三角函數的方法堪稱近代數學史上純數學研究最精彩的華章之一：來源於物理幾何，但高於物理幾何，而這一切都出自歐拉對相容性的深刻領悟。
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