不知道大家有沒有過這樣的經歷
圖片翻譯自 @smbc-comic
雖然不管是我們的數學老師還是物理老師都一直教導我們，在思考問題的時候不要陷入到計算的細節。但是有句話是這麼說的，計算不是萬能的，沒有計算是萬萬不能的。
比如無論多麼精巧的幾何問題，在笛卡爾發明了解析幾何之後，無論如何你都有最後一手暴力計算。如果一個方程組解決不了問題，那就再加一個方程組。
但是在東西算多了以後，你往往會迷茫，我是誰？我在哪？我要算啥？迷失在一個又一個的數學技巧裡面。現在大家都說無圖言X, 今天我們就來介紹介紹那些巧妙的用一張圖就寫完的證明。
不 等 式
Inequality
在初學不等式的時候，往往會遇到幾個奇奇怪怪的平均數。什麼
算術平均數
還有幾何平均數
那時候既搞不懂兩個都是數，為什麼一個叫算術一個叫幾何，也分不清楚哪個不哪個大，每次到了要用的時候還要現算一下。
直到後來看了這個……
上圖中的半圓直徑長度為 a+b，所以半徑的長度為 (a+b)/2，也就是 a 和 b 這兩個數的算術平均值。利用射影定理，只要沿著 a 線段與 b 線段的交點做一條垂線，我們就能得到幾何平均。
射影定理也被稱為歐幾里得定理，或者第一餘弦定理。其內容為在直角三角形中，斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊射影的比例中項。事實上，這個操作也是我們在尺櫃作圖時，對一個數進行開方運算的方法。
巧妙的證明並不止上面這一種，利用相交弦定理（弦被定點所分成的兩線段的積為定值）我們可以得到另一個證明。
最後給大家來個終極必殺技，還囊括了平方平均 和調和平均的一圖流。
連續奇數求和
Sum of Odd
什麼都不說了，一張圖終結這個問題
立方數求和
Sum of Cubic Number
圖中均為正方形。上圖中正方形的邊長恰好和該正方形的個數相等。邊長為偶數時，正方形會出現重疊，但是重疊部分正好和空白部分面積相等，也就得到了最上面的立方和公式。
平方數求和
Sum of Square
我們已經知道了，一個數的平方和可以拆解成一串奇數的和。那麼，在上圖第一個三角形中，每一行都對應著一個平方和。把這個三角形旋轉到各個方向上再求和，我們就能夠得到一個每個格點上均為 2n+1 的三角形。而 2n+1 的個數是很好數的，正好為 1 + 2 + … + n = n(n+1)/2 。再考慮到我們把平方和計算了 3 遍，我們最終就能夠得到平方和的求和公式。
斐波那契數列
Fibonacci Sequence
相信大家對斐波那契數列都不陌生了。1, 1, 2, 3, 5, 8, 13……任意一項為其前兩項之和。關於斐波那契數列每一項的平方之和也有一條神奇的關係。
勾股定理
Pythagorean Theorem
原本位於大正方形兩個角落的小正方形的面積分別為 a 的平方和 b 的平方。通過平移三角形，我們發現空白部分的面積正好為 c 的平方，也就是勾股定理。
維維亞尼定理
Viviani's Theorem
定理的內容是在等邊三角形內任意一點P跟三邊的垂直距離之和，等於三角形的高。
利用正三角形各個邊上的高相等，我們可以通過旋轉和平移把這三條線段「拼」在一起。
填充蛋糕小遊戲
Fill the Plate
最後來個大家玩一個很有趣的題目。我們有一堆菱形的小蛋糕，現在需要用這些小蛋糕來拼滿一個正六邊形的盤子，如下圖所示。可以看到，小蛋糕一共有三種朝向。問題來了，這三種方向小蛋糕各佔了多少比例？
三個方向的小蛋糕數量均相同。我們可以給圖片染了個色，現在看見這個「立體圖」，每個方向上的小蛋糕之和都對應了相同的正方形。
更取巧的方法是通過對稱性分析。我們可以通過旋轉操作把不同方向的小蛋糕進行輪換，沒有一個方向是特殊的，自然所有方向上的小蛋糕數量都是一樣的。
參考內容
Nelsen, R. B. (1993). Proofs without words: Exercises in visual thinking (No. 1). MAA.
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