今天文章分享的這道例題，首先在已知條件非常少的情況下，要推導求證圖形形狀，所以就需要添加輔助線。而本題的難點也就在此，如何運用輔助線得到對應圖形全等，從而得出可用條件來繼續推證。基本圖形分析法運用三種輔助線添加方法，對本題進行詳細的分析，其中運用到的關鍵，就是通過"對稱軸"來完成添線和全等證明。那麼這三種方法，你有想到嗎？題目完整分析後，還有一道腦筋急轉彎哦！
例19 如圖5-54，已知：E是正方形ABCD內的一點，∠EBC=∠ECB=15°，求證：△AED是等邊三角形。
圖5-54
分析：本題要證△AED是等邊三角形，也就是要證明AE=ED=AD。而已知四邊形ABCD是正方形，AD=AB，所以問題成為要證AE=AB，而這是兩條具有公共端點的相等線段，它們可以組成一個等腰三角形，問題也就成為一個等腰三角形的判定問題，於是問題就轉化成為證明AE=AB的等價性質∠ABE=∠AEB。而已知∠EBC=15°，∠ABC=90°，所以∠ABE=90°-15°=75°，從而又只要證明∠AEB=75°
而由條件∠EBC=∠ECB=15°，可得△EBC也是等腰三角形（如圖5-55），且它的頂角∠BEC=180°-15°-15°=150°，所以要證∠AEB=75°，就是要證明∠AEB等於∠BEC的一半，也就是要證∠AEB=1/2·∠BEC。這樣就出現了兩個角之間的倍半關係，從而就可以根據角的倍半關係的定義，將倍角，即∠BEC兩等分，也就是作∠BEC的平分線交BC於F，然後證明∠BEC的一半，也就是∠BEF和∠AEB相等。但由於△EBC是等腰三角形，所以在作出了角平分線EF後，應用等腰三角形中的重要線段的基本圖形的性質，就可得EF⊥BC，且BF=CF。
圖5-55
現在的問題是要證明∠AEB=∠FEB，而這兩個角相等的關係一出現，就說明這兩個相等的角是關於BE成軸對稱的，所以可添加軸對稱型全等三角形進行證明。由於已知圖形中已有對稱軸BE，所以添加軸對稱型的全等三角形的方法是將三角形沿對稱軸翻折，於是就可將△ABE沿對稱軸BE翻折過去，由於∠AEB應和∠FEB相等，所以翻折後，AE應落在EF和EF的延長線上，而由∠ABE=75°，可知BA應落在與BE交成75°角的射線上。而已知∠EBF=15°，所以在正方形外還應作一個60°的角，於是以BC為邊、B為頂點作∠CBG=60°交EF的延長線於G，從而只要證明△ABE和△GBE全等（如圖5-56）。在這兩個三角形中，已經出現的條件是∠ABE=∠GBE=75°，BE=BE，所以還需要一個條件。因∠AEB=∠BEF是要證的結論，不能用；而∠BAE=∠BGE又是∠AEB=∠BEF的等價性質，也不能用；而AE和GE即使證明了相等，出現的也是兩邊和其中一邊的對角對應相等，也不能證明這兩個三角形全等，所以也不能用。這樣問題就只能證明BG=BA。但BA是正方形的邊長，所以問題就要證BG也等於正方形的邊長。但由所作的∠CBG=60°和我們已得到的∠BFG=90°，可知BG是30°角的直角三角形的斜邊，所以有BG=2BF，而前面已證BC=2BF；所以BG=BA就可以證明。在證明了AE=AD後，根據同樣的道理也可證明DE=DA，所以分析可以完成。
圖5-56
本題要證△AED是等邊三角形，實質上就是要證AE=AB。由條件∠BBC=15°，∠ABC=90°，所以∠ABE=75°，對於15°和75°這兩個角來說，它們的和是90°，而它們的差是另一個特殊角60°，所以∠ABE就等於∠EBC+60°，這樣根據角的和差關係的定義，就有在∠ABE內以B為頂點，以BA為一邊，作∠ABF=∠CBE=15°後，可得∠EBF=60°，但在作出了∠ABF=∠CBE後，由於BA=BC，所以就出現了這兩個相等的角和這兩條相等線段都是關於∠ABC的角平分線，也就是正方形的對角線BD成軸對稱的，所以就可以添加軸對稱型全等三角形進行證明添加的方法就是將△EBC沿對稱軸BD翻折過去（如圖5-57），於是在射線BF上截取BF=BE，並連接AF（如圖5-58），就可由BA=BC，∠ABF=∠CBE=15°和BF=BE，推得△ABF≌△CBE。
圖5-57
另一方面，由BF=BE，這是兩條具有公共端點B的相等線段，所以它們可組成一個等腰三角形，於是聯結EF（如圖5-58），再由∠EBF=90°-15°-15°=60°，可得△BEF是一個等邊三角形，FE=FB。這樣再由要證的結論AE=AB，就可以發現△AFE和△AFB也是一對軸對稱型全等三角形。而在這兩個三角形中，已經有AF=AF，FE=FB，而第三條邊相等是結論，不能用，所以證明這兩個三角形全等的第三個條件只能是證這兩條邊的夾角相等，也就是要證∠AFE=∠AFB。但∠AFB=∠BEC=180°-2×15°=150°，所以問題就是要證∠AFE也等於150°，由於∠AFE=360°-∠AFB-∠BFE=360°-150°-60°=150°，所以分析可以完成。
圖5-58
本題在根據∠ABE=∠BEC+60°的性質進行分析和添線時，也可以以B為頂點、以BE為一邊，作∠EBF=∠EBC=15°，這樣就出現了∠EBF和∠EBC這兩個角是關於BE成軸對稱的，所以可添加軸對稱型全等三角形進行證明。添加的方法就是將△EBC沿對稱軸BE翻折過去（如圖5-59）。於是在射線BF上截取BF=BC，並聯結EF（如圖5-60），就可證明△BEF≌△BEC，EF=EC，∠BEF=∠BEC=180°-2×15°=150°.這樣，就出現了EF和EC是兩條具有公共端點的相等線段，它們就可以組成一個等腰三角形，於是聯結FC（如圖5-60），△EFC首先應是等腰三角形。再由∠FEC=360°-∠BEF-∠BEC=360°-150°-150°=60°，所以△EFC也是一個等邊三角形。
圖5-59
圖5-60
現在要證明的性質是AE=AB，而AB=BC=BF，且BE=CE=CF，所以△ABE和△BCF也必定是一對繞正方形的中心旋轉90°的全等三角形。而在這兩個三角形中，已經有AB=BC，BE=CF，而第三條邊相等，即AE=BF是結論，不能用，所以第三個條件只能是證明這兩邊的夾角相等，也就是要證∠ABE=∠BCF，但∠ABE=90°-15°=75°，而∠BCF=∠BCE+∠ECF=15°+60°，也等於75°，所以分析也就可以完成。
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在什麼情況下，5大於0，0大於2 ，2大於5？
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