花匠菜農小美
要了解黃金分割，不妨先從一幅畫《蒙娜麗莎》說起。
蒙娜麗莎與達芬奇
《蒙娜麗莎》是文藝復興時期意大利著名的科學家、藝術家達芬奇的作品。所有去巴黎旅遊的人，都一定會去盧浮宮博物館，欣賞“蒙娜麗莎的微笑”。
達芬奇不僅僅是個畫家，他是人類歷史上數一數二的天才，在天文學、物理學、工程學、密碼學、解剖學、建築學、考古學等領域都有傑出的成就。比如他被認為是現代解剖學的師祖，繪製了大量的解剖圖。
他還對機械非常痴迷，經常涉及出一些一些超越時代的機械，比如直升飛機和潛水艇的草圖。
不過他害怕有人利用他的發明幹壞事，所以很多手稿上全是密碼，電影《達芬奇密碼》就是從這個故事開始的。
作為一個科學家，在他的繪畫作品中自然而然隱藏著科學的影子。比如蒙娜麗莎這幅作品，就有大量的黃金分割和黃金矩形。那麼，什麼是黃金分割和黃金矩形呢？
從斐波那契到黃金比例
我之前講過斐波那契數列。這個數列是1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…，特點是前兩項相加等於後一項。我們可以把某個數與後一項做比，比如1÷1=1，1÷2=0.5…列表如下：
我們會發現：斐波那契數列雖然越來越大，但是相鄰兩項的比貌似一直在接近於一個數字0.618…。實際上，數學上可以證明：無窮多項之後，斐波那契數列相鄰兩個數字之比的確是一個固定值，這個值是一個無理數，接近於0.618033988749895….，這個數字就是黃金分割。
黃金分割的提出要遠遠早於斐波那契數列。相傳，古希臘數學家畢達哥拉斯有一次在街上聽到鐵匠在打鐵，聲音非常有規律，十分動聽。回家之後認真研究，就發現了黃金分割比例。
黃金分割的一般定義是這樣的：有一個線段，在線段上找一個點，將線段分割為A和B兩部分。較短的部分（A）與較長的部分（B）的長度之比等於較長的部分（B）與全長（A+B）的比，那麼這個點就稱為黃金分割點，而這個比例就稱為黃金分割。
求解這個比例並不難，我們設線段總長為1，並設B的長度為x，則A的長度為1-x，這樣這個關係就可以寫作：
我們可以把這個公式恆等變形為
根據求根公式得到x為
這個數字就是黃金分割比例，大約等於0.618。
黃金分割在美學上的應用
長久以來，人們一直認為黃金分割比例是最美的，在繪畫、雕塑、建築等領域，人們都不約而同的使用黃金分割。
比如與《蒙娜麗莎》同為盧浮宮鎮館之寶的“斷臂的維納斯”雕塑，身高2.02米，她的肚臍剛好是黃金分割點，肚臍以上部分和肚臍以下部分之比接近於0.618。
實際上，正常的人都沒有這麼好的比例，所以愛美的小女孩可以通過高跟鞋提高自己的腿長，讓身體比例更迷人。芭蕾舞演員跳舞時踮起腳尖，原因之一也是因為這樣身體比例更接近黃金分割，視覺美感更強。
在建築設計時，人們也會不由自主地使用黃金分割。比如埃及的胡夫大金字塔。底邊長2b=230.37米，高h=146.59米，側面三角形的高a=186.5米，用底邊長度的一半b與側面三角形的高a做比，剛好得到0.618的黃金分割比例。
在現代建築中，人們也大量的使用黃金分割，以追求視覺美感。比如法國的標誌性建築埃菲爾鐵塔，總高度300米（另有天線24米），三個觀景臺分別位於57.6米、115.7米和276.1米，其中第二層觀景臺的高度大約就在整個塔的黃金分割點上：下面高度與上面高度之比大約等於0.618。
再比如，上海的東方明珠，塔高468米，在它的黃金分割點上，設計師安排了一個上球體，讓整個建築看起來協調美觀。
除了在繪畫和建築方面，在攝影上，有所謂“九宮格”的說法。其實就是在上和寬上找到兩個黃金分割點，並作過黃金分割點的直線。四條直線相交，有四個交點，這四個點是人的“興趣點”。把我們要凸顯的景物放在黃金分割線或者興趣點上，整個圖片就顯得自然美觀。
同時，照片的寬和高的比例如果是黃金比例，這張照片也會顯得尺寸美觀。這種尺寸的矩形稱為黃金矩形。黃金矩形有一個特點：如果在黃金矩形中不停地分割出正方形，那麼餘下的部分也依然是黃金矩形。
而且，如果我們把這些個正方形的對角線用平滑曲線連接起來，就形成了一個螺旋，這個螺旋稱為“黃金螺旋”。黃金螺旋在自然界普遍存在。比如鸚鵡螺的曲線就是黃金螺旋。
人們在設計樓梯時，讓樓梯從某個角度看去接近黃金螺旋，會給人一種美感。
《蒙娜麗莎》中的黃金分割
現在我們可以回到《蒙娜麗莎》了。蒙娜麗莎的臉型接近於黃金矩形，頭寬和肩寬的比接近於黃金比例。如果我們畫一條黃金螺旋，這條黃金螺旋可以經過蒙娜麗莎的鼻孔、下巴、頭頂和手等重要部位。這些設計，不知道是達芬奇有意為之，還是一種巧合？
我想，也許藝術與科學本來就是相通的。文藝復興時代最早發展起來的是藝術，出現了達芬奇、米開朗基羅、拉斐爾等藝術家，然後才是科學，出現了伽利略、哥白尼等偉大的科學家。
藝術追求的是美，科學追求的是真理。真理就是最美的。
李永樂老師
這是一個相當古老的問題，起源於古希臘的神秘哲學流派畢達哥拉斯學派。畢達哥拉斯學派的數學家發現，如若按照某個比例規則分割整體與部分時，可以得到一系列相關的組合。這個分割規則，就是黃金分割。一個最簡單的例子，比如，將一條線段按照這樣的規則加以分割，使分割後的結果符合一個比例，即整條線段與分割出來線段之一的比，等於分割後的兩個線段之間的比例。如下圖所示：
其中的神奇之處就在於，通過這個分割比率Φ（音斐，據說是為了紀念最早發現黃金分割律的古希臘數學家斐波那契），就可以將整體與部分關聯起來。並且，還可以按照這個比率繼續將部分分割下去，使一系列分割彼此之間都能通過比率Φ繼續相互連接在一起，如同下圖的斐波那契螺旋線。
符合黃金比率的矩形被稱之為黃金矩形，其中的比率Φ被稱為黃金比率，Φ=1.6180339887......黃金分割點大約就在整條線的0.618處，稱為黃金分割點。
自然界本身就存在大量符合黃金分割的現象，比如很多樹葉的形狀、樹幹與樹枝的分佈、人體的比例，等等。也有很多建築師採用黃金分割率來確定建築的結構。但最著名的應用，是我國數學家華羅庚的優選法，也稱為0.618法，就是利用黃金分割點來確定最優實驗點的方法。
當然，黃金分割只是許多數學規律中的一個，在一定範圍內適用，並不能代表全部數學，更不能說明自然界的一切，所以不能將其神秘化或神聖化。
一家之言，歡迎拍磚！
國科大王大明
什麼是黃金分割？與我們的生活有哪些關係？
1)黃金分割技術上的探討近乎於玄學，一般人擺的姿勢像蒙娜麗莎一樣也不會差到哪裡！實際上就是二八法則，即22比78定律。
2)我們發現人二十歲到三十歲的行為的社會有效功率決定今後的走向和命運。大數據顯示公司80%的利潤取決於20%的客戶。有人會問阿里巴巴服務中小客戶也適用這個原理？結果證實雖然阿里網裡商品繁若星辰，但客戶裡賺錢最多的商品種類只是其中的30%。生活裡20%的不良反應會導致不良後果，有人早上因為孩子把他的刮鬍刀碰到地上大吵，結果妻子不願意跟他對吵，氣鼓鼓趕到公司，卻發現晨會重要文件忘在家裡。如果開始就把這20%的不良影響化解，後面這麼多倒黴事就少得多。
3)社會變革趨勢在進行到30%入手最賺錢，而且只有30%的人能看到。互聯網剛興起時只有阿里、騰訊、搜狐、百度在做，而他們現在已經佔領了互聯網的大部分。還有二十年來房地產，兩年的牛市等等，未來還有哪些二八定律的機會哪？
