1811年10月26日，伽罗瓦出生于距巴黎18公里的莱茵堡。他的父亲是位自由主义知识分子，而母亲则是法官的女儿。受父母的影响，伽罗瓦从小便热爱自由，憎恶封建专制，向往共和，然而这也正是造成他悲剧的重要原因。如果说贫困伴随阿贝尔一生，那么政治的风波则影响了伽罗瓦的一生。
在中学代数课上，伽罗瓦迷上了二次方程的求根公式，因为它是个普适的。但他不满足于此，立马又去学了三次和四次方程的解法。已经自信满满的他又开始自己研究五次方程的解法，但与阿贝尔一样失败了。但他也毫不退缩，决定从大师那里学习。他也找来了拉格朗日这方面的著作，研究之后也开始认为高次方程是没有根式解的，并且深深坚信拉格朗日说的“置换是问题的真谛”。之后的伽罗瓦把全部时间精力都投入到了这方面的思考之中，荒废了其他学业，导致报考巴黎综合工科大学失败。但他卓越的才华还是使得他被编入了路易皇家学校的数学专业班进行学习，在这里，他遇到了十分欣赏自己数学才华的里夏尔老师。这位老师十分热情地指导伽罗瓦学习数学，并且将伽罗瓦的一篇关于连分数的论文推荐给法国第一个专业性数学杂志《纯粹与应用数学年鉴》进行发表。
这表明，伽罗瓦已经不只是一个普通的中学生，还是一个有创造才能的青年数学家。文章发表对伽罗瓦是个巨大的鼓励，他以更大的动力来自学习研究。在此期间，对方程根的置换深入研究，使伽罗瓦日益了解根的置换和代数求解之间深刻的联系。但现实生活中的虚伪偏见和专制压迫使他憎恶愤恨，只有数学研究里的探索发现使他感奋欢愉。
从1829年春天到1831年春天这两年中，深入考察根式求解方程各种运算步骤的实质，提出了置换群及其子群、数域及其扩域等一系列新概念。把对方程的系数施行四则运算产生的数域的各个层次的扩域和根的置换群的各个层次的子群联系起来，建立了后人称的“伽罗瓦对应”。
1829年5月，伽罗瓦按里夏尔老师的建议，把他的初步成果写成一个简要的报告呈送法国科学院审核，然而与阿贝尔的遭遇一样，柯西并没有回应他。7月，正当伽罗瓦积极准备再次报考巴黎综合工科大学时，父亲不堪受辱而自杀的消息传来，这使伽罗瓦痛苦不堪，但他还得强压悲伤准备考试。这一次，主考官的傲慢与轻蔑使得伽罗瓦大为恼怒，而且他们也对自己的成果不屑一顾，气急败坏的伽罗瓦抓起黑板擦使劲朝考官们扔了过去。结果可想而知，他又落榜了。在这之后，他对波旁王朝封建复辟势力产生了深深的憎恶。为了继续学习，他又不得不去巴黎高师当预备生。
1830年1月，伽罗瓦把他仔细写成的一份研究报告再次呈送法国科学院的秘书傅里叶审阅。但傅里叶已经日薄西山，无力理解这样意义非凡的东西。几个月之后，傅里叶去世，伽罗瓦的论文再次不知所踪。
在高等师范学校，伽罗瓦结识了惟一亲近的朋友， 奥古斯特·薛瓦烈， 他是位圣西门主义者。伽罗瓦虽然没有信奉圣西门主义，但是在薛瓦烈的影响下，伽罗瓦开始更经常深入地思考社会问题，对法国社会的政治、文化，包括教育、科学各方面，根据自己的经验，进行分析和批判。伽罗瓦已经开始对政治愈加狂热，加入了共和派团体。
1831年1月12日，伽罗瓦第三次把他的研究报告呈送科学院，这次是惟一写完了的一篇论文《关于根式解方程的可解性条件》。这次负责审阅的是泊松，而他也同样没有理解，之后将其退回并建议伽罗瓦再写得详细一些。
1831年5月，由于参加反政府活动，伽罗瓦被捕入狱。第二年春天由于感染疫病，伽罗瓦被送往医院。4月底，刑满释放的伽罗瓦没有立即离开医院。在兼作情报工作的院长法尔特里埃家中，伽罗瓦和院长女儿斯特芬妮邂逅，这成了他唯一的一次恋爱。但后来，他发现这女孩不过是卖弄风情。后来另一个年轻人不期而至，为斯特芬妮，要求同伽罗瓦决斗。这使得伽罗瓦陷入绝境。伽罗瓦认为他们为那女子而死太不值得，必须要尽量避免决斗。伽罗瓦实事求是地说明一切。但是最终也没有被年轻的对手理解，被迫接受了决斗的挑战。
决斗前一晚，自感时间不多的伽罗瓦奋笔疾书，争分夺秒地写下自己的数学遗言。这一写就为留下了影响后世几百年的成果。第二天伽罗瓦腹部中枪，在这万物欣欣向荣蓬勃生长的早晨，一个年轻的生命却悄然逝去了。此时的伽罗瓦才22岁！
直到伽罗瓦去世14年后，刘维尔才充分认识到了伽罗瓦著作的深刻意义，并且将其发表。直到这时，数学界才认识到了曾经犯下的错误是多么愚蠢。然而一切都为时已晚……
利用置换群轮，伽罗瓦彻底解决了如何判断高次是否可以根式解这个千古难题，而且此时的“三大作图难题”也仅仅是一个简单的推论而已。 伽罗瓦置换群理论的发表，产生了研究具体群的理论。后来约当等人发展群论，索福斯·李建立李群理论，这些都是伽罗瓦研究的继续与发扬。100多年数学发展表明，如拓扑学之于几何学，群论使代数学发生了根本而深刻的变化。它们对整个数学和科学技术各个方面，产生了广泛而深远的影响。即使是证明费马大定理这样的世纪难题，也应用了伽罗瓦理论。如今数学界普遍认为，伽罗瓦是有史以来屈指可数的对数学发展影响最大的数学家之一，而事实表明，这已是不争的共识了。
但伽罗瓦个人的悲剧是我们无论如何也弥补不了的了……
閱讀更多 數學掃地僧 的文章
