(作者:劉嶽老師)
17世紀德國天文學家
開普勒曾這麼說:幾何學裡有兩件寶,一個是勾股定理,另外一個是黃金分割,如果把勾股定理比作是金礦的話,那麼黃金分割就是鑽石礦。一、什麼是黃金分割?
對於線段AB而言,若存在一點C使得AC:BC=BC:AB,即“短:長=長:整體”,點C成為線段AB的黃金分割點。
而a:b的結果便是我們通常所說的黃金分割比,這個結果約等於0.618,其準確值為:
其實還有另一種說法,黃金分割比為b:a≈1.618,這兩個結果不多不少正好差1,這是因為:
所以黃金分割比是個很獨特的數,它與它的倒數之差為1 ,即
如果把等號右邊裡的x用1+1/x代替,於是黃金分割有了一副新的臉龐:連分數。
任意無理數都可以表示為無限連分數的形式,而黃金分割比顯然是最漂亮的那個。
忘了補充一點,黃金分割比通常用φ(希臘字母,念fai)表示。
從代數形式已經可以略顯黃金分割的一點風範,而幾何圖形,才是讓黃金分割顯現鑽石本質的主戰場。
二、中學數學裡的黃金家族
黃金三角形:若等腰三角形腰與底或底與腰之比為黃金分割比,則稱之為
黃金三角形。其實常見的就是以下兩種:
要說長得好看可能等邊三角形等其他三角形也不是很服氣,之所以叫黃金三角形,是因為可以割啊,像這樣,不斷分割下去,始終是黃金三角形。
五角星瞭解一下,這裡所能看到的每一個三角形也都是黃金三角形!
黃金矩形:相鄰兩邊之比為黃金分割比的矩形。
不斷分離正方形,剩下的始終還是黃金矩形 。
三、斐波那契數列
找規律:1,1,2,3,5,8,13,21,34……
後一個數總是等於前面兩數之和,這就是斐波那契數列,因斐波那契以兔子繁殖為例來引入,故又稱兔子數列,
假定:
①兔子在出生兩個月後,就有繁殖能力;
②一對兔子每個月能生出一對小兔子來;
③所有兔子都不死。
那麼一年以後可以繁殖多少對兔子?
我們不妨拿新出生的一對小兔子分析一下:
第1個月,小兔子沒有繁殖能力,所以還是一對;
第2個月,兔子長大了,但這個月還是生不了;
第3個月,終於生出了第一對小兔子,所以現在一共是2對了;
第4個月,老兔子又生下一對,因為小兔子還沒有繁殖能力,所以一共是3對;
第5個月,……
依次類推可以列出下表:
說明:幼仔對數=前月成兔對數
成兔對數=前月成兔對數+前月幼仔對數
總體對數=本月成兔對數+本月幼仔對數
除去前幾項不同外,後面數列的變化規律都是一樣的,前後一項總等於前兩項之和。
再說說通項公式吧,作為數列研究的重點內容,斐波那契數列的通項有點抽象,其結果為:
明明是一串整數列,通項卻含有無理數,以及這裡出現了φ。
那,這跟黃金分割到底有什麼關係呢?
簡單說,這串數列的前一項與後一項的比值,隨著數列的延續越接近黃金分割比,不妨再列個表:
四、真假黃金螺旋線
圖形通常比數字更直觀,分別以斐波那契數列各項值為邊長作正方形,分別作四分之一圓,可得斐波那契螺旋線:
另外還記得剛剛所畫的黃金矩形嗎?同樣在裡面作四分之一圓,得到黃金螺旋線:
兩個圖像是不是像極了?但明顯,其實並不完全一樣,放在同一個圖中,下圖紅色是黃金螺旋線 ,綠色是斐波那契螺旋線,不放到一塊還真看不出來長得不一樣咧。
黃金螺旋線是對數螺線e^θ,多留意下我們的大自然,就會發現有很多與其類似的圖案:
有位大哥表示,我也要當黃金分割臉,經過精密的計算,需要這麼整:
黃金分割確有美妙之處,但也無需過度神化,畢竟,上面這些認真來說,沒有一條黃金螺旋線 ,莫要把數學玩壞了撒~
史上研究螺線的大咖並不少,其中最有趣的當屬瑞士數學家雅各布·伯努利,他醉心於對數螺線(黃金螺旋線是對數螺線的一種)的研究,並發現不管對對數螺線作何變換,仍是對數螺線,驚歎於這種螺線的神奇,伯努利在遺囑裡要求在其墓碑上刻上黃金螺旋線,並配上“縱然變化,依然故我”,以示死後永生不朽!
然而據說,工匠一個不小心,就刻成了阿基米德螺旋線,伯努利要是看得到估計氣得能從墳墓裡爬出來把工匠暴打一頓。