十三 函數 A。e^(rt)中單位變化率的r 的含義
函數式A。e^(rt)有著廣泛的應用，其應用的重要意義在於其中參數r 的含義，其應用的意義與所謂的連續複利法沒有一點關係。
1 構成 函數A。e^(rt)式的三種方法
函數A。e^(rt)可由三種方法得出。
方法一，即所謂的連續複利法，根據複利公式A。(1+r)^t (1)得出複利分期計算公式A。(1+r/m)^(mt) (2)，令m趨於無窮大，得到連續複利公式A。e^(rt) (3)。
方法二，將(1)式變形得數學恆等式
A。(1+R)^t =A。e^(txln(1+R))=A。e^(rt)(4)
在計算複利時，其中的R為普通複利率，R的含義等同於(1)式中的r，r=ln(1+R). 這裡的推導與方法一是兩回事。
恆等式(4)兩端相同的字母含義是一致的，兩端的字母、時間變量或都只取整數，或都可取非整數，等式兩端都可用作離散計算和連續計算；由此可再次看到，從(1)到(3)的推導是不成立的。
方法三，許多事物如細胞繁殖、樹木生長、鐳的衰變以及資金增值等事物的變化規律符合方程 (dA(t)/dt)/A(t)=r, A(0)=A。 (5)
解這方程得A。e^(rt).
2 單位變化率r 的意義
我們知道，函數A。e^(rt)有廣泛應用，.A。e^(rt)與(5)等價，在(5)中，A。為初值，e為常數，t為時間變量，事物的變化完全決定於參數r .
dA(t)/dt為函數A(t)總的變化率，所以
(dA(t)/dt)/A(t)=r為數量1的變化率，即A。e^(rt) 中的參數r 實際為1單位的變化率，可稱為單位變化率，用單位變化率概念就能把其它領域中許多概念解釋清楚。
生物學中稱(dA(t)/dt)/A(t)=r為瞬時增長率，利息理論中稱這個r為利息力、利息強度，有數學書中稱這個r為相對增長率，但都未能對這些概念給出簡單明瞭的解釋。根據單位變化率的含義解釋，生物學中的所謂瞬時增長率就是任意時刻任意1單位生物生長速度；利息理論中的利息力、利息強度就是任意時刻任意1單位資金的增值速度。
根據單位變化率的含義，還可直接定義推導出費雪效應公式(見中國知網上文章《用單位變化率定義和認識費雪效應公式》)。
3 實際工作中為什麼要使用以無理數e為底的函數?
許多事物如資金增值、細菌繁殖、樹木生長、鐳的衰變、化學反應、國民經濟增長等都可用A。(1+R)^t和A。e^(rt)表達，也可用它們的等價式A。a^t、A。2^(bt)和A。(1+2s)^t表達。用A。(1+R)^t表達是因為其中的參數R表達的是人1單位量在1單位時間的增加量。而A。a^t、A。2^(bt)和A。(1+2s)^t中的參數沒有這樣明確的數學意義。
實際工作中常使用函數A。e^(rt)的原因當要從以下兩方面考慮。
一方面是，根據(dA(t)/dt)/A(t)=r, A(0)=A。 (5)
得到A。e^(rt).，突出了單位變化率r 的意義，由上一段可知突出單位變化率的實際意義。但由於從數學上沒有給出參數r 的明確解釋，數學概念落後於實際工作需要，所以對在其它領域形成的如瞬時增長率、連續複利收益率、利息力等概念也就沒有簡短明確解釋，對此我們將在下面兩篇中還要詳細說明。
另一方面，在投資證券期貨一類問題中，可用A。(1+R)^t =A。e^(rt)表達到t時的總值，實際上，未來的收益是不確定的，是隨機的，(1+R)^t =e^(rt)就是投資1單位資金到t時的累積值，R和r，(1+R)^t 和e^(rt)也都是隨機的，R和(1+R)^t、和e^(rt)不符合正態分佈，而r和(rt)符合正態分佈，利用r和(rt)的正態分佈性就為研究問題帶來了極大便利，這當是在各期權定價模型中都要將表達式A。(1+R)^t 轉換為A。e^(rt)的原因。
最後強調一句，A。e^(rt)有廣泛的應用，這些用法與所謂的連續複利計算沒有一點關係。
