今天和大家分享一篇纯技术文章，本文作者尝试从数学分析的角度，解读经典的PID控制器！希望业内的工控工程师对PID控制器及PID控制算法有更深入的理解和认识。
来源 | 中华工控网 工控论坛
作者 | 狄静宇 北京工业大学机械工程与应用电子技术学院博士研究生
工农业生产和军事国防的需求促进了自动控制理论和技术的产生、完善和发展，反过来自动控制理论和自动控制技术对于工农业生产和军事国防装备建设也起到了很大的助推作用。自动控制已经成功的应用于工程技术领域，比如工业的加工制造过程，机器人技术的发展，汽车自动驾驶技术的开发，导弹的制导与控制系统，无人机的飞行控制系统等等。
自动控制理论不仅应用于工程技术领域，而且已经渗透到其他领域比如经济领域、社会管理领域以及生物医疗领域等。我国著名科学家钱学森曾经说过：“作为技术科学的控制论，对工程技术、生物和生命现象的研究和经济科学，以及对社会研究都有深刻的意义，比起相对论和量子论对社会的作用有过之而无不及。我们可以毫不含糊地说从科学理论的角度来看，二十世纪上半叶的三大伟绩是相对论、量子论和控制论，也许可以称它们为三项科学革命，是人类认识客观世界的三大飞跃。”
自动控制理论根据发展的阶段和所研究内容的不同，可分为经典控制理论和现代控制理论两大部分。控制理论的不断完善和发展推动了控制技术和控制工程的变革，产生了很多新的产品和技术应用。自动控制理论为工程技术、系统设计与开发以及机电产品的研发等提供了可靠的数学计算方法，可以说自动控制理论是整个自动控制产业的核心。本文基于控制论思想，通过数学方法从全新的角度解读经典控制理论中的PID调节器，力争用浅显而深刻的语言诠释教科书中艰难晦涩的表述。PID控制器，即偏差信号的比例(proportional)-积分(integral)-微分(derivative)控制算法，是最早发展起来的一种控制策略。由于PID控制算法非常简单、具有很强的鲁棒性、可靠性好并且便于工程技术的实现，因此直到现在很多闭环反馈控制回路的控制策略仍然选用这种古老的经典控制算法。
教科书中PID控制算法的数学方程描述如下式(1)所示↓↓：
相应的传递函数表示为下式(2)所示↓↓：
PID控制算法是一种基于偏差信号的控制算法，偏差信号的产生是由传感器实时不断监测被控对象的输出即被调量的大小，然后以负反馈的形式加载到控制指令信号输入端，两者经过比较之后形成偏差信号输入到PID控制器，从而对被控对象起到闭环反馈控制的作用。图1所示为含有PID调节器的典型负反馈闭环控制回路结构框图。PID控制器对于偏差信号起到比例、积分和微分的作用，控制器含有三个待整定的参数，实际应用中可以根据不同的参数组合及具体需求得到比例控制器(P)、积分控制器(I)、微分控制器(D)、比例-积分(PI)控制器和比例-微分(PD)控制器等。
↑↑图1 含有PID调节器的典型负反馈闭环控制回路结构框图
下面从数学分析的角度，用理想质点模型作为被控对象，以被控对象的位置为被调量来解释PID控制器的控制作用机理，试图以浅显而深刻的语言让更多的人来理解这种古老而有效的PID控制算法。图2所示为理想质点模型的位置控制示意图，控制指令信号为r=0，即期望的质点位置为坐标原点处，不失一般性，假定0时刻质点的位置处于正半轴的点A。此刻控制指令信号与传感器检测到的负反馈信号经过比较产生得到的偏差信号为e(0)=-A，因此比例控制器(P)所产生的控制信号为：
上式为0时刻的比例控制信号，式中的负号表示产生的控制信号方向为负方向，控制作用效果为使质点向着负半轴方向运动。比例控制信号的大小与偏差信号的大小成正比例关系，可以简单的理解为，如果质点位置离期望的质点位置（坐标原点）越远，则比例控制信号越大；反之如果质点位置离期望的质点位置（坐标原点）越近，则比例控制信号越小。比例控制信号的产生与被控对象当前的状态有关，反应当前状态的控制需求。实际中由于控制系统各个环节的惯性以及滞后性等的影响，单一比例控制器难以满足对于控制要求较高的情况，因此需要配合其他控制器来共同完成控制任务。
↑图2 理想质点模型的位置控制示意图
假设在0时刻之前存在一个无限小的时间间隔，所对应的时刻为0-时刻，0-时刻质点所处的位置为A´或A´´，其中A´´>A>A´>0，参照图3所示PID控制算法的数学解释。质点的位置为随时间变化的函数P(t)，对于无限小的时间间隔(0－0-)内，函数P(t)为直线形式，因此经过简单计算可得到微分控制器(D)所产生的控制信号为：
上式中的分式部分表示质点位置函数P(t)的斜率，结合质点的实际运动过程，可知表示质点的运动速度，上式中负号表示所产生微分控制信号的方向与质点的速度方向相反。当0-时刻质点所处的位置为A´时，质点向远离坐标原点的方向运动，质点的速度方向为正半轴方向，此时产生的微分控制信号方向为负半轴方向；当0-时刻质点所处的位置为A´´时，质点向靠近坐标原点的方向运动，质点的速度方向为负半轴方向，此时产生的微分控制信号方向为正半轴方向。微分控制信号是一种超前控制信号，能够“预测”被控对象的运动趋势，对被控对象的运动趋势起阻尼的作用，可减缓控制过程中的震荡，使动态的控制过程尽快稳定下来。
↑图3 PID控制算法的数学解释
假设在0时刻之后的一个无限小时间间隔，所对应的时刻为0+时刻，0+时刻质点所处的位置为E，不妨假设E>0。由于所选择的时间间隔(0+－0)为无限小，因此点E在点A的附近，函数P(t)为直线形式。经过简单计算，可得到积分控制器(I)所产生的控制信号为：
上式中梯形面积代表质点位置对时间的积分，对于上面的研究模型，由于质点处于正半轴上，因此梯形的面积为正，考虑到上式中负号的存在，所以积分控制信号的方向为负方向，控制作用是使质点向着负半轴方向运动。假设在某种控制条件下，质点的位置稳定在A点，即系统存在常值稳态误差，这时随着时间的不断增加，积分控制信号逐渐增大，从而最终可以消除控制系统的稳态误差。积分控制信号是一种滞后控制信号，能够“回顾”被控对象的运动历史，提高控制系统的控制精度。
由于传统PID控制器的突出优点，至今仍然广泛的应用于各种控制系统和控制任务中，可以满足对于控制系统性能要求较高的情况。PID控制器也并不是一成不变的，随着被控对象复杂程度的不断加深，将自适应控制、最优控制、鲁棒控制和智能控制等控制策略引入到传统PID控制中产生了新型的现代智能PID控制器，从而进一步拓宽了传统PID控制器的应用，焕发了经典控制理论和传统控制技术的活力。
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作者 | 狄静宇
北京工业大学机械工程与应用电子技术学院博士研究生
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