大家看了小編上一篇淺談π與e的關係的文章，是不是還意猶未盡呢？下面小編將從初等數學的角度帶大家推導一下曲率中心和半徑的公式。
公式
曲率半徑：
曲率半徑公式
曲率中心：
曲率中心公式
定義
類比於圓的兩切線的垂直平分線交於圓心，我們假設任一曲線無限接近於一點P（x。，y。）的兩切線的垂直平分線也交於一點，如下圖
示例圖形
推導過程
有了定義，那我們就直接開門見山，開始推導曲率中心的公式吧：
l1：y-f(x。)=-(1/f'(x。))(x-x。)
l2：y-f(x。+Δ x)=-(1/f'(x。+Δ x))[x-(x。+Δ x)] ,其中Δ x->0
我們把y消去後就可以得到
f(x。)-(x-x。)/f'(x。)=f(x。+Δ x)-[x-(x。+Δ x)]/f'(x。+Δ x)
移項得
{[f'(x。+Δ x)-f'(x。)](x-x。)-f'(x。)Δ x}/(f'(x。)f'(x。+Δ x))=f(x。+Δ x)-f(x。)——（1）式
由於當Δ x->0時，有
f'(x。)=[f(x。+Δ x)-f(x。)]/Δ x
f''(x。)=[f'(x。+Δ x)-f'(x。)]/Δ x
因此（1）式等號兩邊同除Δ x->0得
[f''(x。)(x-x。)-f'(x。)]/(f'(x。)f'(x。+Δ x))=f'(x。) ——（2）式
由於Δ x->0，
因此,f'(x。+Δ x)=f'(x。)
所以（2）式可以寫成
[f''(x。)(x-x。)-f'(x。)]/(f'(x。)^2)=f'(x。)
移項得
x=x。-[f'(x。)^3+f'(x。)]/f''(x。)
代入y-f(x。)=-(1/f'(x。))(x-x。)得
y=f(x。)+[f'(x。)+1]/f''(x。)
至此，曲率中心的公式就推導出來了
曲率中心公式
由距離公式得
r=|PM|，其中P的座標是（x。，y。），M的座標就是曲率中心，我們不難得到曲率半徑的公式
曲率半徑公式
哈哈，怎麼樣？是不是簡單易懂，其實很多複雜的微積分都可以變得很簡單，只要你勇於探索，你就可以發現更多美妙的方法。
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