在漢到唐這一千多年間，出現了很多的算術書，取其中最有名的十本，合稱為《算經十書》:《周髀算經》、《九章算術》、《海島算經》、《張丘建算經》、《夏侯陽算經》、《五經算術》、《緝古算經》、《綴術》、《五曹算經》、《孫子算經》，其中最廣為人知的是《九章算術》。
《九章算術》是中國古代第一部數學專著，是《算經十書》中最重要的一部，成於公元一世紀左右。其作者已不可考。一般認為它是經歷代各家的增補修訂，而逐漸成為現今定本的，西漢的張蒼、耿壽昌曾經做過增補和整理，其時大體已成定本。最後成書最遲在東漢前期，現今流傳的大多是在三國時期魏元帝景元四年（263年），劉徽為《九章》所作的注本。
《九章算術》內容十分豐富，全書總結了戰國、秦、漢時期的數學成就。同時，《九章算術》在數學上還有其獨到的成就，不僅最早提到分數問題，也首先記錄了盈不足等問題，《方程》章還在世界數學史上首次闡述了負數及其加減運算法則。它是一本綜合性的歷史著作，是當時世界上最簡練有效的應用數學，它的出現標誌中國古代數學形成了完整的體系。
該著作中包含246個數學應用問題，分別屬於方田、粟米、衰(cui)分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程及句股這九章。
例如《九章算術》勾股章引葭（jiā）赴岸一題：
原文："今有池方一丈，葭生其中央。出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊。問水深、葭長各幾何。"
翻譯：現有一水池一丈見方，池中生有一棵初生的蘆葦，露出水面一尺，如把它引向岸邊，正好與岸邊齊平，問水有多深，該蘆葦有多長？
這一問題在世界數學史上很有影響。印度古代數學家婆什迦羅的《麗羅瓦提》一書中有按這一問題改編的"風動紅蓮"；阿拉伯數學家阿爾•卡西的《算術之鑰》也有類似的"池中長茅"問題；歐洲《十六世紀的算術》一書中又有"圓池蘆葦"問題。它們比我國要晚幾百上千年。
註釋：（1）葭：讀jia，一聲，與"家"發音相同。初生的蘆葦。（2）一丈等於十尺。
圖示如下。葭尖D被引至岸邊的點B處。在這個過程中，認為葭不彎曲，繞根部A整體轉動。a為水中央C位到岸邊的垂直距離，a=5（尺）；AC=b，為水深；BA=DA=c，為葭長。DC=c－b，為葭露出水面部分的長度，c－b=1（尺）。顯然，三角形ABC為直角三角形，c為斜邊。
《九章》中求解的方法是："半池方自乘，以出水一尺自乘，減之。餘，倍出水除之，即得水深。加出水數，得葭長。"轉化成公式，為
把相應的已知量直接代入上式，得
即水深為12尺。葭長也容易求出，為12尺加上1尺，等於13尺。在中國古代那個時候，人們想要找到一種最為直接的計算公式，這個公式由已知量給出，於是直接代入已知量便可求出未知量。
那麼這個公式是如何得到的呢？我們知道，在一個直角三角形中，如果一直角邊是已知的，斜邊與另一直角邊的差也是已知的，那麼，這個直角三角形就是確定的。是確定的，我們自然可以求出斜邊和未知直角邊的長度。這個公式就是這個意思。
下面我們從勾股定理出發，導出上面的公式。
由上圖，顯然有：
我們要想辦法讓已知量c－b出現。若把上式左邊利用平方差公式，是可以得到c－b，但同時也得到了c+b。c+b不是已知量，我們不想讓它出現在最終的公式中。我們試著想辦法得出（c－b）的平方。如下所示：
有了這個公式後，如果葭露出水面2尺，則可以求得水深b為(25－4)/4=5.25尺，葭長為7.25尺。
有了這個公式，還可以解決其他類似問題。《九章算術》也給出了類似的題目
''圓材埋壁"，"今有圓材埋在壁中，不知大小。以鋸鋸之，深一寸，鋸刀長一尺。問徑幾何？"
圖示如下。圓材是指圓柱形的木材或石材。下圖是橫截面圖，它是一個圓。劣弧BDE代表露在外面的柱面，優弧BFE代表埋在牆內的柱面，我們看不到。原題所說的"深一寸"是指DC的長度；"鋸道長一尺"（1尺等於10寸）是指BE的長度，它的一半正好就是BC，即直角三角形的直角邊a，a=5（寸）。圖中的b為橫截面圓心到牆面的距離AC。圖中的c為橫截面圓的半徑。
有了上面這些解說，我們於是可以應用上一題的那個公式求出b的長度。然後可以求出c。最後求出2c，即橫截面圓的直徑。
從而c = b + (c－b) = 12 + 1 = 13 (寸)，直徑 = 2c = 26 (寸)。
以上是直接應用第6題公式求解。這很好！但實際上《九章算術》中這個第9題的解法不是這樣的。我下面給出介紹。《九章》中的解法是："半鋸道自乘，如深寸而一，以深寸增之，即材徑。" 這個方法其實使用了我們現在所說的相交弦定理：圓內兩條相交之弦互相分對方所成的兩線段的乘積相等（通過相似三角形即可證明其正確性）。即，如果MN和PQ為兩條弦，相交於點S，則MS · SN = PS · SQ。
具體到《九章》勾股章的第9題，如下圖所示，有BC · CE = DC · CF，
即
所以，
那麼，把c+b與c－b兩段相加，正好就得到2c，即圓的直徑。所以，若設直徑為d，則有
這個公式就是《九章》勾股章第9題所採用的方法："半鋸道自乘，如深寸而一，以深寸增之，即材徑。"
把已知條件a=5和c－b=1代入，得d = 25/1+1 = 26 (寸)，與第一種方法的結果是一樣的。
上面這個求直徑的公式，是所謂的"弧矢公式"。一般來說，弧矢公式是這樣的：有一弓形，已知其弦長為c（注意，與前面使用的c的意思不同，下面的b也不同），弧高為b（如下圖所示），則弓形圓弧所在圓的直徑d為
最後有兩點思考：
（1）我曾在很多中國古代建築中見到過柱子藏於牆體中，露出一部分柱面。因無法直接測量其直徑而採取"以鋸鋸之"的方法，現在看來不太好。不管圓柱體是什麼，"以鋸鋸之"終歸對其產生了損壞，實不可取。其他測量方法其實很多，比如可以利用石膏製作一個凹形圓弧，它當然正好嚴絲合縫地扣到柱面上，然後我們測這段圓弧的直徑即可。
（2）上述題中的圓材，我們一般認為是圓柱形的。但認為它是球形物體，也未嘗不可。題目的解法對球一樣適用，所求出的直徑為球的直徑。
"盈還是不足，這是個問題"，小學時候的魔鬼應用題，其實早在千餘年前就已經有系統的解法了。例如：今有共買雞，人出九，盈十一；人出六，不足十六。問人數、雞價各幾何？答曰：九人，雞價七十。
我們看看我國古代如何求解的：
今解法：設人數為x，雞價y，則 y=9x-11，y=6x+16解得x=9 y=70.
古法2，比較好理解為消y的思維，用下式減上式得3x=27能求出人數，再代入求物價。
古法1，過程則有些複雜，但可以理解為我們消x的思維，與消y思維並用3x=27，6y=54x-66，9y=54x+144，相減得到3y=210，y=70.
由此看來，我們的先人在不知道設未知數的列方程的思想之前，也是能想到對應的方法求解問題，有時也不經佩服古人的思想，早在幾百年，乃至千年前就能想出這些方法。同時隨著時間的發展，我們對技術的革新，也對應產生出了很多新的工具和方法幫助我們解決問題，也是時代進步帶給我們的好處。從無到有的過程才是最難的，我們可以學習借用前人留給我們的知識結晶，也會推動時代的發展。
而直到1675年，意大利的數學書還把這個方法叫做"中國算法"。在這本書中提到了直除法，這是世界上最早的完整的線性方程組的解法，本質上就是現在的矩陣初等變換。在這一章裡面還出現了負數，而在外國，最早是在7世紀才有負數之說。
對完善《九章算術》體系作出巨大貢獻的劉徽，是魏晉時期偉大的數學家，中國古典數學理論的奠基人之一。
他的數學成就大致分為兩個方面：
一是整理古代數學體系並奠定其理論基礎，這點主要體現在《九章算術注》中，包括了數系理論，面積與體積理論等。現代基礎算術中的約分，還有十進制分數無限逼近無理根的想法，都是他的首創。
二是自己的創新，主要在割圓術求圓周率上。
極限的 lim 符號看起來首先由西方人使用，但是實際上早在古代中國，在求解問題的時候就已經有極限思想了。莊子所說的："一尺之棰，日取其半，萬世不竭"就已經存在極限表達"無窮小量"的思想了。
而極限思想在《九章算術》裡面主要存在於"方田"這一章，也就是求面積和體積的問題。
劉徽在為《九章算術》作注的時候，首先指出之前的"周三徑一"（也就是π=3）其實是圓的內接正六邊形周長和直徑之比，從而說明這個說法是非常粗疏的。而為了求到圓的面積公式（本質上就是求π），他開始不斷地割圓。這就是我們平常說的"割圓術"，也是非常經典的極限思想。他自己也說的："割之彌細，所失彌少，割之又割，以至於不可割，則與圓合體，而無所失也。"
《九章算術》確定了中國古代數學的框架，以計算為中心的特點，密切聯繫實際，以解決人們生產、生活中的數學問題為目的的風格。其影響之深，以致以後中國數學著作大體採取兩種形式：或為之作注，或仿其體例著書;甚至西算傳入中國之後，人們著書立說時還常常把包括西算在內的數學知識納入九章的框架。
《九章算術》的意義還遠不止於它在中國數學史上的重要地位，更以一系列"世界之最"的成就，反映出我國古代數學在秦漢時期已經取得在全世界領先發展的地位。這種領先地位一直保持到公元十四世紀初。
其實，中國古代數學的輝煌成就和現代中國數學的缺少成就之間的問題，值得我們好好思考一下。也許是因為缺少公理化體系導致證明邏輯過弱的結果，也許是因為中國古典數學後繼無人的結果，也許是因為現代的數學教育問題。但是不管怎麼樣，我們可以見到中國數學再度崛起。
如果說《幾何原本》是西方數學史的鼻祖，引導著西方自然科學的發展，那與《幾何原本》齊名的《九章算術》，自然就是東方自然科學的原點。
