解題只會一種思路？運用圖形分析法靈活添加輔助線

例38 如圖5-125，已知：△ABC中，AB=AC，D是AB上的一點，E是AC的延長線上的一點，CE=BD，DE交BC於F。求證：DF=EF

圖5-125

分析：本題要證明的結論是DF=EF，而條件中又給出DE和BC相交於F，這樣就出現了要證明相等的兩條線段DF和EF位於一組對頂角的兩邊且成一直線，從而就可添加中心對稱型的全等三角形進行證明。添加的方法是過端點作平行線。由於過端點D和E可以作許多組平行線，所以選取哪一條線段為平行線的方向或方向線段也就出現了多種可能情況：

如果取EC為平行方向線段，則過D作DG∥AE交BC於G（如圖5-126），那麼△DFG和△EFC就是一對中心對稱型的全等三角形。在這兩個三角形中，已經有∠DFG=∠EFC，∠DGF=∠BCF，所以還應找一組邊對應相等的條件因條件中還給出CE=BD，所以就應證明CE和它的對應邊GD相等，也就是要證DG=DB，但這又是兩條具有公共端點的相等線段，它們可組成一個等腰三角形，所以問題可轉化成證DG=DB的等價性質∠B=∠DGB。由於DG∥AC，∠DGB=∠ACB，和AB=AC，∠B=∠ACB，就可以完成分析。

圖5-126

如果取DB為平行方向線段，則過E作EN∥BA交BC的延長線於N（如圖5-127），那麼由AB=AC、∠B=∠ACB=∠ECN和∠B=∠N，就可以證明DB=EC=EN。從而通過∠B=∠N和∠DFB=∠EFN，也可以證明△DBF和△ENF也是一對中心對稱型全等三角形，從而完成分析。

圖5-127

如果取與BC垂直的方向作為平行線的方向，則過D、E分別作DM⊥BC、EN⊥BC，並交BC和BC的延長線於M、N（如圖5-128），這樣△DFM和△EFN就應是一對中心對稱型的全等三角形。在這兩個三角形中，已有∠DFM=∠EFN，∠DMF=∠ENF=90°，所以也要再證一組邊對應相等的條件，由BD=CE、∠B=∠ACB=∠ECN和∠DMB=∠ENC=90°，就可先證明△BDM和△CEN全等，從而可得DM=EN，也就可以完成分析。

圖5-128

接下來我們討論一種特殊的情況，就是取BC為平行線的方向，也就是過端點D、E所作的平行線與BC不相交，也就是和BC平行，這樣中心對稱型的全等三角形也就不會出現，但由於這時出現了過線段的中點所作的平行線，所以就出現了三角形中位線的基本圖形。在具體添加平行線時，由於BC實際上已是平行方向線段，所以平行線只要過一個端點作即可。

如考慮過端點D作平行線，則過D作DG∥FC交AC於G（如圖5-129），於是由AB=AC和DG∥BC，就可得AD=AG，BD=CG，而已知BD=CE，所以CG=CE，而已作GD∥CF，所以DF=EF可以證明。

圖5-129

如考慮過端點E作平行線，則過E作EG∥FB交AB的延長線於G（如圖5-130），那麼也可由AB=AC和BC∥GE，推得BG=CE，所以BD=GD，從而再由BF∥GE，就可證明DF=EF。

圖5-130

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