函數一詞相信初高中生都不陌生，但這個詞是泊來品，中文數學書上使用的“函數”一詞是轉譯詞，最早出現是我國清代數學家李善蘭翻譯《代數學》（1859年）一書時，把“function”譯成“函數”的。“函”，在中國古代與“含”字通用，都有著“包含”的意思。李善蘭給出的定義是：“凡式中含天，為天之函數。”中國古代用天、地、人、物4個字來表示4個不同的未知數或變量。這個定義的含義是：“凡是公式中含有變量x，則該式子叫做x的函數。”所以“函數”是指公式裡含有變量的意思。“函”又有信函之意，是一種對應關係，“數”指數字，故而從字面可以知道“函數”就是一種數與數之間的一種對應關係！
現在中學課本上對函數的定義是：給定一個非空的數集A，對A施加對應法則f，記作f（A），得到另一數集B，也就是B=f（A）。那麼這個關係式就叫函數關係式,簡稱函數。這是以集合論為基礎建立的定義，也是目前為人廣為接受的概念。那麼，你知道函數這一次從出現到現在經歷了怎麼樣的變化嗎？你知道歷史上數學家都是怎麼來描述函數的嗎？下面我們就來看一下數學家們眼中的函數。
約翰·伯努利（1718）：一個變量的函數是由該變量和一些常數以任何方式組成的量。
Johann Bernoulli, 1667-1748
歐拉（1748）：一個變量的函數是由該變量和一些數或常量以任何方式組成的解析式。
Leonhard Euler, 1707 - 1783
歐拉（1755）：如果某些量依賴於另一些量，當後面這些量變化時，前面這些變量也隨之變化，則前面的量稱為後面的量的函數。
Leonhard Euler, 1707 - 1783
孔多塞：設有若干量x，y，z，…，F，對於x，y，z，…的每一個確定的值，F 有一個或多個確定的值與之對應，則稱F為x，y，z，…的一個函數。
A. N. C. Condorcet, 1743-1794
拉克洛瓦（S. F. Lacroix, 1765-1843）（1797）：任何一個量，如果它的值依賴於一個或多個其他的量，那麼它就稱為這些量的函數，不管我們知不知道這種依賴關係是通過什麼運算實現的。
拉格朗日（ 1797）：所謂一個或幾個量的函數，是指任意一個用於運算的表達式，這些量以任意方式出現於表達式中，表達式中可以有（也可以沒有）其它一些具有給定的不變值的量，而函數的量可以取所有可能的值。
J. L. Lagrange, 1736-1813
傅立葉（ 1822）：函數f ( x)代表一系列的值或縱座標，它們中的每一個都是任意的。對於無限多個給定的橫座標 x 的值，有同樣多個縱座標 f ( x) 的值。所有的值要麼為正數，要麼為負數，要麼是零。無需假設這些縱座標滿足同一個法則；它們可以任何方式接續，每一個都好像是單個的量。
J. Fourier, 1768 - 1830
柯西《分析教程》 （1821）：當變量之間這樣聯繫起來，即給定了這些變量中的一個值，就可以決定所有其它變量的值的時候，人們通常想像這些量是用其中的一個來表達的，這時這個量就被稱為自變量；而用自變量表示的其它量就叫做該變量的函數。
A. L. Cauchy, 1789 - 1857
羅巴切夫斯基（1834）： x 的函數是這樣的一個數，它對於每個 x 都有確定的值，並且隨著 x 的變化而逐漸變化，函數值或者由解析式給出，或者由一個條件給出，這個條件提供了一種檢驗所有的數並選擇其中之一的方法，或者雖然依賴關係存在但可以是未知的。
Lobachevsky, 1792-1856
狄裡克雷（1837）:設a、b是兩個確定的值，x 是可取a、b之間一切值的變量。如果對於每一個 x，有惟一有限的 y 值與它對應，使得當 x 從 a 到 b 連續變化時，也逐漸變化，那麼 y 就稱為該區間上 x 的一個連續函數。在整個區間上，y 無需按照同一種規律依賴於 x，也無需單單考慮能用數學運算來表示的關係。
L. Dirichlet,1805 - 1859
斯托克斯（1847）:函數是這樣一個量，它的值以任意方式依賴於構成它的一個或幾個變量的值。因此，函數不必通過任何代數符號的組合來表達，甚至在變量的很近的界限之間也是如此。
G. G. Stokes, 1819-1903
黎曼（1851）：假定z是一個變量，它可以逐次取所有可能的實數值。若對它的每一個值，都有不定量 w 的惟一的值與之相對應，則稱 w 為 z 的函數。
B. Riemann, 1826-1866
布爾 (1854)：任何包含符號 x 的代數式稱為 x 的函數，並用一般的簡記符號f ( x)來 表示。
G. Boole, 1815-1864
漢克爾（1870）： x 的一個函數被稱為f(x)，如果對於某區間內 x 的每一個值， f(x) 都有的惟一確定的值與之相關聯。此外， f(x)是通過量的解析運算還是通過別的方式確定，根本無關緊要。 f(x) 的值只須處處惟一確定。
H. Hankel, 1839-1873
戴德金 (1887)：函數就是系統S的一個映射，對於S中每一個確定的元素s，按照法則，都有一個確定的對象與之相關聯，這個對象稱為s的象，以φ(s)將表示；也可以說，φ(s)是由s通過映射產生的，即s通過映射變換成φ(s)。
R. Dedekind, 1831-1916
坦納裡(1904）：考慮不同數的集合(X)，將這些數看成是x的取值，於是x就是一個變量。假設x的每一個值，即集合(X)的每一個元素，對應於一個數，這個數可以看成是字母y的取值；我們說y是由該集合(X)所確定的x的函數：如果定義了對應關係，就定義了該集合上的一個函數。y所取的不同值的集合(Y)是由同一個對應關係確定的：我們說b是(Y)的一個元素，即(X)的一個元素a與數b對應。(X)的每一個元素對應於(Y)的一個元素；反之亦然；但在前面的定義中，並沒有排除(X)的幾個不同元素對應於(Y)的同一個元素，換言之，(X)和Y)之間的對應不一定是完全的。
J.Tannery,1848 - 1910
維布倫：若在變量y 的集合與另一個變量 x的集合之間有這樣的關係成立，即對 x的每一個值，有完全確定的 y值與之對應，則稱變量 y 是變量 x 的函數。
O. Veblen, 1880 - 1960
皮亞諾（1911）：函數是這樣一種關係 u，對於任意的x，y 和 z，如果第二個元素相同的兩個序偶 y；x 和 z；x 滿足這個關係，那麼必有 y = x。
G. Peano, 1858-1932
豪斯道夫 （1914）：設 P 是序偶 p = (a, b)組成的一個集合，對於每一個 p∈P，稱 b 為 a 的象，在特殊情況下，每個 a 只有惟一的象 b，則被此 a決定且與a相關的元 b稱為a 的函數，記為 b=f(a) 。
F. Hausdorff, 1868-1942
古爾薩（1923）：函數這個詞的現代定義是柯西和黎曼給出的。如果 x 的一個值與 y 的一個值相對應，那麼我們就說y是x的一個函數。我們用方程 y = f (x) 來表示。
E. Goursat, 1858 - 1936
布爾巴基學派《集合論》（ 1939 ）：設E和F是兩個集合，它們可以不同，也可以相同。E中的一個變元x和F中的變元y之間的一個關係稱為一個函數關係，如果對每一個x∈E，都存在惟一的y∈F，它滿足與x的給定關係。我們將聯繫每一個元素x∈E和元素y∈F的運算稱為函數；y稱為x處的函數值，函數是由給定的關係決定的。兩個等價的函數關係確定了同一個函數。
閱讀更多 中學數學課堂 的文章
