引言：
數線段是小學二年級就開始接觸的一個知識點，但是其思路很方法仍然可以延續到六年級乃至整個數學學習生涯。數平面圖形的個數在小學高年級奧數中也頻頻露臉，有時候會換個形式，比如數三角形，數長方形，數矩形，數格點三角形，數格點正方形等。這類題目不光用到最簡單的數線段的知識，同樣還要用到很重要的數學思想——分類討論加枚舉法。
今天，我就帶大家一起重溫數線段。本篇文章前面部分較為簡單，二三年級學生即可看懂，後面部分拓展內容，適合有一定基礎的學生。
一、什麼是線段
線段是指直線上兩點間的有限部分（包括兩個端點）。
線段
生活中的一些物品，我們也可以把它近似的看成線段。比如手頭的鉛筆，廚房的擀麵杖，路邊的電線杆，他們都是直的，有兩個端點。回頭看看周圍，你能在生活中舉出線段的例子嗎？
數學中的線段是抽象化的，它沒有粗細，只有長短。
畫線段時，我們往往用直尺畫一條直線，在直線上點兩個點表示線段的端點，這兩個端點之間的距離就表示線段的長度。
二、數線段
數線段就是單純的數數嗎？為什麼要數線段？
數線段是數數具體的應用，小學學的數學不光要數蘋果，數雞數羊這些具體的東西，也要數線段這樣抽象的數學圖形。數線段不光是數數，還要觀察分析線段的各種組合，要做到快速準確可不容易。
很多同學遇到複雜的問題之後，困難不是如何去數，而是要麼多數，要麼少數，要麼忘記那些數了那些沒數。這種題看似都會做，很容易下手，但是能保證作對的同學並不多，需要耐心、細心以及縝密的思維。
如何解決同學們在數線段中遇到的問題呢，我們還是從最簡單的例子開始學習。
例1：下圖中有幾條線段？
是不是看著都像線段？如果有人忽略了線段有兩個端點的話，那麼很有可能答錯哦。
答案是：一條線段。
上面是直線，下面包含兩條射線。
明白線段的概念之後，這道題是不是太簡單了。
例2：下圖中分別有幾條線段？
都是兩條嗎？圖中的直角對我們數線段造成影響了嗎？
直角的影響就是我歪著脖子看了半天也沒找到第三個線段，那就確定是兩條吧，如果找到3條，應該是脖子歪久了眼花了。
下面的長線段是由兩個基本線段組成的，兩短一長共三條。
例3：下圖中有幾條線段？
有了剛才的經驗，我們知道，數一條直線上的線段，不光要數短的，還要數短的線段組合成的長線段。
為了描述方便，我們引入基本線段的概念。
基本線段：兩個端點之間沒有其他線段的線段。
引入的概念沒有必要記，知道是什麼就行。概念是為了方便表達，否則每個人叫法不同，會造成誤解。
通常數學中的點用大寫字母表示，線段AB表示兩個端點分別為A和B的線段。
如上圖，當一條直線上出現多個基本線段的時候，我們還要考慮到基本線段所有可能的組合。
基本線段，AB、BC、CD；
2條基本線段組成的線段，AC、BD；
3條基本線段組成的線段AD。
所以，上圖共有3+2+1=6條線段。
這道題我們用到了兩個數學思想，一個叫分類討論，另一個叫枚舉法。
根據基本線段個數分類，把包含一條基本線段的分成一組，包含2條基本線段的分成一組，包含3條基本線段的分成一組。（分類討論）
我們再分別把這組線段一一列舉出來。（枚舉法）
這兩個方法看似簡單，在小學階段的用處卻很大，尤其當情況比較複雜的時候，恰當的分類能讓我們的思路更清晰，枚舉法讓我們不多數也不漏數。
通過上面的例子，我們能否得出這樣一個結論。一條直線上有幾條基本線段，那個這條直線上的線段總數就是：基本線段的個數+...+3+2+1。
我們觀察還能發現，基本線段的個數=端點個數-1，可以類比植樹問題中的間隔數=數的棵樹-1。當我們不知道基本線段個數，而知道端點個數的時候，可以使用這個思路先求出基本線段個數。
也有人總結出這個公式：線段總數=端點數×基本線段數÷2。實際上是將高斯求和公式也代進去了，可以簡化運算，但是我建議還是學習基本的思路即可，腦子裡邊如果全是公式，很容易記錯或者記亂，最好自己總結分析，這樣你很有可能會有自己的公式。
為了驗證我們這個剛新鮮出爐的結論，我們不妨再找一個例子。
例4：下圖中有幾條線段？
新方法：
圖中共有5個基本線段，所以線段總數為：
5+4+3+2+1=15（個）
（即簡單有省時省力）
驗證方法1（分類討論和枚舉法）：
基本線段AB、BC、CD、DE、EF；
2條基本線段組成的線段AC、BD、CE、DF；
3條基本線段組成的線段AD、BE、CF；
4條基本線段組成的線段AE、BF；
5條基本線段組成的線段AF。
共有5+4+3+2+1=15（個）。
雖然這樣做比較麻煩，但是它能告訴我們原理：新方法裡的5代表的是5個基本線段，4代表的是由2個基本線段組成的線段有4條，3代表的是由3個基本線段組成的線段是3條，2代表的是由4個基本線段組成的線段是2條，1代表的是由5個基本線段組成的線段是1條。
驗證方法2：
如上圖，我們還可以將從A點出發的線段分成一組，它們分別是：AB、AC、AD、AE、AF；
從B點出發的線段分成一組，它們分別是：BC、BD、BE、BF（BA和AB重複，不再統計，下同）；
從C點出發的線段分成一組，它們分別是：CD、CE、CF；
從D點出發的線段分成一組，它們分別是：DE、DF；
從E點出發的線段只有一條EF。
共有5+4+3+2+1=15（條）。
通過這道例題，以及兩種驗證方法，我們知道了如何快速的數線段，直線上的線段總數就是：基本線段的條數+...+3+2+1，記住這個方法，並知道它是怎麼來的，以及每一個數字代表的意義是什麼。
三、數線段拓展練習
練習1：下面的圖形中共有多少條線段？
分析：這是個簡化圖，所以從圖中無法看出有多少條基本線段，但是題目告訴我們有56+6=62個端點。那麼基本線段條數為62-1=61（條）。
61+60+59+...+2+1=1891（條）
（答案供參考）
(計算要用到高斯求和公式，如果不瞭解這個公式的話，參考我的另一篇文章《小學奧數——高斯求和公式，簡單問題的再思考》)
練習2：下面圖形中共有多少條線段？
分析：對每一個長線段分別數一次，然後相加即可。
注意：對水平和垂直的兩條長線段不要把他們分成兩段去數（思考為什麼）。
答案：63條。
練習3：小明班裡有42名同學，如果每兩個人握一次手，那麼全班共握手多少次？
分析：我們可以做出這樣一個假設，讓全班同學站成一條直線，站第一位的同學依次跟其他同學握手，除了他自己，他會跟41名同學握手，握手結束後，該同學回到原來的位置。
站第二位的同學已經跟第一位同學握過手了，所以他只需跟除自己和第一位同學之外的40名同學握手，結束後站回原位。
同樣的方法，第三位同學握手39次（不包括前面兩次），第四位同學握手38次，依此類推，倒數第二名同學握手1次，最後一名同學一直是被動握手。
握手次數共：
41+40+39+...+2+1=861（次）
我們回顧一下，握手問題是不是跟數線段問題很相似呢，每個同學就像一個個端點，握一次手，將相當於把兩個端點連起來形成一個線段。42個同學握手的次數就是有42個端點的直線上線段的條數。跟下面的圖是不是又異曲同工之妙呢？
這道題還可以這樣理解：其實每個同學握手次數都是41次，只是有主動的和被動之分。42名同學每人握手41次，共計42×41次，但是在甲跟乙握手和乙跟甲握手是同一次，統計的時候重複了，需要除以2。最終握手次數為42×41÷2。
類似的問題還有單循環比賽中比賽次數的問題。看看下面的題目你會做嗎？
學校舉辦足球比賽，共10支隊伍參加，要求每兩支隊伍都要比賽一場，不能重複，請問共需要踢多少場比賽？
四、數線段的升級
1.數角
角的邊相當於線段的端點，相鄰兩個邊之間的小角（我們姑且稱為基本角吧）相當於基本線段。所以只需要數出基本角，依次遞減相加即可。
圖中共有9+2=11個邊，即10個基本角，所以角的個數為：
10+9+8+...+2+1=55（個）
2.數三角形
（1）下圖中有多少個三角形？
如上圖，三角形有公共的頂點，有多少個不同的底邊就有多少個三角形，邊就是線段，還是迴歸到數線段上來了。
4+3+2+1=10（個）
（2）下圖中有多少個三角形？
分3層，每層數完之後一次相加即可（每層的三角形個數相同，你注意到了嗎）。
答案：30個。
（3）下圖中兩個大三角形中分別有多少個三角形？
分析：相比於左邊的圖像，右邊圖形中三角形中間橫線相交導致多出來那幾個三角形?
答案：18個，21個。
（4）下圖中有幾個三角形？
看到這個題目時，我們前面總結的經驗還能用的上嗎？簡便運算失效的時候怎麼辦呢？
我們需要回歸到最基本的，分類討論加枚舉法。
小三角形：1+3+5+7=16（個）
4個小三角形組成的三角形：7（個），有個倒立的不要忘記。
9個小三角形組成的三角形：3（個）
最大的三角形：1（個）
共計：16+7+3+1=27個。
還有類似的數平面幾何圖形的題目，如數長方形，正方形，格點三角形，格點正方形，這裡就不一一列舉了。當圖形不規則的時候，沒有快速數的技巧時，就需要迴歸到組基本的分類討論和枚舉法來，爭取不遺漏，不多數。套路，公式，技巧，方法都有侷限性，只有當你真正掌握了知識的本質的時候，你會找到屬於你自己的方法。
題外話：上一篇高斯求和公式的文章我看到有很多朋友收藏轉發的，我也是頭條的新人，本來是隨便寫寫的，也不知道對你們有沒有幫助。看我的文章的多數應該是小學生的家長，我也不清楚你們的具體需求。所以暫且根據我的理解，儘量能把一些簡單的奧數講明白，讓你們跟孩子有良好的交流途徑，或是輔導或是自己瞭解。如果有其他意見或建議的，可以下方留言，多謝大家的支持。時間倉促，沒有詳細檢查，內容中如有錯誤，請評論區留言指正，謝謝。
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