引言：
数线段是小学二年级就开始接触的一个知识点，但是其思路很方法仍然可以延续到六年级乃至整个数学学习生涯。数平面图形的个数在小学高年级奥数中也频频露脸，有时候会换个形式，比如数三角形，数长方形，数矩形，数格点三角形，数格点正方形等。这类题目不光用到最简单的数线段的知识，同样还要用到很重要的数学思想——分类讨论加枚举法。
今天，我就带大家一起重温数线段。本篇文章前面部分较为简单，二三年级学生即可看懂，后面部分拓展内容，适合有一定基础的学生。
一、什么是线段
线段是指直线上两点间的有限部分（包括两个端点）。
线段
生活中的一些物品，我们也可以把它近似的看成线段。比如手头的铅笔，厨房的擀面杖，路边的电线杆，他们都是直的，有两个端点。回头看看周围，你能在生活中举出线段的例子吗？
数学中的线段是抽象化的，它没有粗细，只有长短。
画线段时，我们往往用直尺画一条直线，在直线上点两个点表示线段的端点，这两个端点之间的距离就表示线段的长度。
二、数线段
数线段就是单纯的数数吗？为什么要数线段？
数线段是数数具体的应用，小学学的数学不光要数苹果，数鸡数羊这些具体的东西，也要数线段这样抽象的数学图形。数线段不光是数数，还要观察分析线段的各种组合，要做到快速准确可不容易。
很多同学遇到复杂的问题之后，困难不是如何去数，而是要么多数，要么少数，要么忘记那些数了那些没数。这种题看似都会做，很容易下手，但是能保证作对的同学并不多，需要耐心、细心以及缜密的思维。
如何解决同学们在数线段中遇到的问题呢，我们还是从最简单的例子开始学习。
例1：下图中有几条线段？
是不是看着都像线段？如果有人忽略了线段有两个端点的话，那么很有可能答错哦。
答案是：一条线段。
上面是直线，下面包含两条射线。
明白线段的概念之后，这道题是不是太简单了。
例2：下图中分别有几条线段？
都是两条吗？图中的直角对我们数线段造成影响了吗？
直角的影响就是我歪着脖子看了半天也没找到第三个线段，那就确定是两条吧，如果找到3条，应该是脖子歪久了眼花了。
下面的长线段是由两个基本线段组成的，两短一长共三条。
例3：下图中有几条线段？
有了刚才的经验，我们知道，数一条直线上的线段，不光要数短的，还要数短的线段组合成的长线段。
为了描述方便，我们引入基本线段的概念。
基本线段：两个端点之间没有其他线段的线段。
引入的概念没有必要记，知道是什么就行。概念是为了方便表达，否则每个人叫法不同，会造成误解。
通常数学中的点用大写字母表示，线段AB表示两个端点分别为A和B的线段。
如上图，当一条直线上出现多个基本线段的时候，我们还要考虑到基本线段所有可能的组合。
基本线段，AB、BC、CD；
2条基本线段组成的线段，AC、BD；
3条基本线段组成的线段AD。
所以，上图共有3+2+1=6条线段。
这道题我们用到了两个数学思想，一个叫分类讨论，另一个叫枚举法。
根据基本线段个数分类，把包含一条基本线段的分成一组，包含2条基本线段的分成一组，包含3条基本线段的分成一组。（分类讨论）
我们再分别把这组线段一一列举出来。（枚举法）
这两个方法看似简单，在小学阶段的用处却很大，尤其当情况比较复杂的时候，恰当的分类能让我们的思路更清晰，枚举法让我们不多数也不漏数。
通过上面的例子，我们能否得出这样一个结论。一条直线上有几条基本线段，那个这条直线上的线段总数就是：基本线段的个数+...+3+2+1。
我们观察还能发现，基本线段的个数=端点个数-1，可以类比植树问题中的间隔数=数的棵树-1。当我们不知道基本线段个数，而知道端点个数的时候，可以使用这个思路先求出基本线段个数。
也有人总结出这个公式：线段总数=端点数×基本线段数÷2。实际上是将高斯求和公式也代进去了，可以简化运算，但是我建议还是学习基本的思路即可，脑子里边如果全是公式，很容易记错或者记乱，最好自己总结分析，这样你很有可能会有自己的公式。
为了验证我们这个刚新鲜出炉的结论，我们不妨再找一个例子。
例4：下图中有几条线段？
新方法：
图中共有5个基本线段，所以线段总数为：
5+4+3+2+1=15（个）
（即简单有省时省力）
验证方法1（分类讨论和枚举法）：
基本线段AB、BC、CD、DE、EF；
2条基本线段组成的线段AC、BD、CE、DF；
3条基本线段组成的线段AD、BE、CF；
4条基本线段组成的线段AE、BF；
5条基本线段组成的线段AF。
共有5+4+3+2+1=15（个）。
虽然这样做比较麻烦，但是它能告诉我们原理：新方法里的5代表的是5个基本线段，4代表的是由2个基本线段组成的线段有4条，3代表的是由3个基本线段组成的线段是3条，2代表的是由4个基本线段组成的线段是2条，1代表的是由5个基本线段组成的线段是1条。
验证方法2：
如上图，我们还可以将从A点出发的线段分成一组，它们分别是：AB、AC、AD、AE、AF；
从B点出发的线段分成一组，它们分别是：BC、BD、BE、BF（BA和AB重复，不再统计，下同）；
从C点出发的线段分成一组，它们分别是：CD、CE、CF；
从D点出发的线段分成一组，它们分别是：DE、DF；
从E点出发的线段只有一条EF。
共有5+4+3+2+1=15（条）。
通过这道例题，以及两种验证方法，我们知道了如何快速的数线段，直线上的线段总数就是：基本线段的条数+...+3+2+1，记住这个方法，并知道它是怎么来的，以及每一个数字代表的意义是什么。
三、数线段拓展练习
练习1：下面的图形中共有多少条线段？
分析：这是个简化图，所以从图中无法看出有多少条基本线段，但是题目告诉我们有56+6=62个端点。那么基本线段条数为62-1=61（条）。
61+60+59+...+2+1=1891（条）
（答案供参考）
(计算要用到高斯求和公式，如果不了解这个公式的话，参考我的另一篇文章《小学奥数——高斯求和公式，简单问题的再思考》)
练习2：下面图形中共有多少条线段？
分析：对每一个长线段分别数一次，然后相加即可。
注意：对水平和垂直的两条长线段不要把他们分成两段去数（思考为什么）。
答案：63条。
练习3：小明班里有42名同学，如果每两个人握一次手，那么全班共握手多少次？
分析：我们可以做出这样一个假设，让全班同学站成一条直线，站第一位的同学依次跟其他同学握手，除了他自己，他会跟41名同学握手，握手结束后，该同学回到原来的位置。
站第二位的同学已经跟第一位同学握过手了，所以他只需跟除自己和第一位同学之外的40名同学握手，结束后站回原位。
同样的方法，第三位同学握手39次（不包括前面两次），第四位同学握手38次，依此类推，倒数第二名同学握手1次，最后一名同学一直是被动握手。
握手次数共：
41+40+39+...+2+1=861（次）
我们回顾一下，握手问题是不是跟数线段问题很相似呢，每个同学就像一个个端点，握一次手，将相当于把两个端点连起来形成一个线段。42个同学握手的次数就是有42个端点的直线上线段的条数。跟下面的图是不是又异曲同工之妙呢？
这道题还可以这样理解：其实每个同学握手次数都是41次，只是有主动的和被动之分。42名同学每人握手41次，共计42×41次，但是在甲跟乙握手和乙跟甲握手是同一次，统计的时候重复了，需要除以2。最终握手次数为42×41÷2。
类似的问题还有单循环比赛中比赛次数的问题。看看下面的题目你会做吗？
学校举办足球比赛，共10支队伍参加，要求每两支队伍都要比赛一场，不能重复，请问共需要踢多少场比赛？
四、数线段的升级
1.数角
角的边相当于线段的端点，相邻两个边之间的小角（我们姑且称为基本角吧）相当于基本线段。所以只需要数出基本角，依次递减相加即可。
图中共有9+2=11个边，即10个基本角，所以角的个数为：
10+9+8+...+2+1=55（个）
2.数三角形
（1）下图中有多少个三角形？
如上图，三角形有公共的顶点，有多少个不同的底边就有多少个三角形，边就是线段，还是回归到数线段上来了。
4+3+2+1=10（个）
（2）下图中有多少个三角形？
分3层，每层数完之后一次相加即可（每层的三角形个数相同，你注意到了吗）。
答案：30个。
（3）下图中两个大三角形中分别有多少个三角形？
分析：相比于左边的图像，右边图形中三角形中间横线相交导致多出来那几个三角形?
答案：18个，21个。
（4）下图中有几个三角形？
看到这个题目时，我们前面总结的经验还能用的上吗？简便运算失效的时候怎么办呢？
我们需要回归到最基本的，分类讨论加枚举法。
小三角形：1+3+5+7=16（个）
4个小三角形组成的三角形：7（个），有个倒立的不要忘记。
9个小三角形组成的三角形：3（个）
最大的三角形：1（个）
共计：16+7+3+1=27个。
还有类似的数平面几何图形的题目，如数长方形，正方形，格点三角形，格点正方形，这里就不一一列举了。当图形不规则的时候，没有快速数的技巧时，就需要回归到组基本的分类讨论和枚举法来，争取不遗漏，不多数。套路，公式，技巧，方法都有局限性，只有当你真正掌握了知识的本质的时候，你会找到属于你自己的方法。
题外话：上一篇高斯求和公式的文章我看到有很多朋友收藏转发的，我也是头条的新人，本来是随便写写的，也不知道对你们有没有帮助。看我的文章的多数应该是小学生的家长，我也不清楚你们的具体需求。所以暂且根据我的理解，尽量能把一些简单的奥数讲明白，让你们跟孩子有良好的交流途径，或是辅导或是自己了解。如果有其他意见或建议的，可以下方留言，多谢大家的支持。时间仓促，没有详细检查，内容中如有错误，请评论区留言指正，谢谢。
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