04.05 奧數知識點：立體圖形的計算

立體圖形的計算

　　在小學階段，我們除了學習平面圖形外，還認識了一些簡單的立體圖形，如長方體、正方體（立方體）、直圓柱體，直圓錐體、球體等，並且知道了它們的體積、表面積的計算公式，歸納如下．見下圖．

在數學中，有許多幾何趣題，解答這些趣題的關鍵在於精巧的構思和恰當的設計，把形象思維和抽象思維結合起來．

例1 下圖是由18個邊長為1釐米的小正方體拼成的，求它的表面積．

分析與解答 求這個長方體的表面積，如果一面一面地去數，把結果累計相加可以得到答案，但方法太繁．如果仔細觀察，會發現這個立體的上下、左右、前後面的面積分別相等．因此列式為：

　　（9＋8＋7）×2＝48（平方釐米）．

　　答：它的表面積是48平方釐米．

例2 一個圓柱體底面周長和高相等．如果高縮短了2釐米，表面積就減少12.56平方釐米．求這個圓柱體的表面積．

分析 一個圓柱體底面周長和高相等，說明圓柱體側面展開是一個正方形．解題的關鍵在於求出底周長．根據條件：高縮短2釐米，表面積就減少12.56平方釐米，用右圖表示，從圖中不難看出陰影部分就是圓柱體表面積減少部分，值是12.56平方釐米，所以底面周長C＝12.56÷2＝6.28（釐米）．這個問題解決了，其它問題也就迎刃而解了．

解：底面周長（也是圓柱體的高）：12.56÷2＝6.28（釐米）．

　　側面積：6.28×6.28＝39.4384（平方釐米）

　　兩個底面積（取π＝3.14）：

表面積：39.4384＋6.28＝45.7184（平方釐米）

答：這個圓柱體的表面積是45.7184平方釐米．

例3 一個正方體形狀的木塊，稜長為1米．若沿正方體的三個方向分別鋸成3份、4份和5份，如下圖，共得到大大小小的長方體60塊，這60塊長方體的表面積的和是多少平方米？

分析 如果將60個長方體逐個計算表面積是個很複雜的問題，更何況鋸成的小木塊長、寬、高都未知使得計算小長方體的表面積成為不可能的事．如果換一個角度考慮問題：每鋸一次就得到兩個新的切面，這兩個面的面積都等於原正方體一個面的面積，也就是，每鋸一次表面積增加1＋1＝2平方米，這樣只要計算一下鋸的總次數就可使問題得到解決．

解：原正方體表面積：1×1×6＝6（平方米），

　　一共鋸了多少次：（次數比分的段數少1）

　　（3－1）＋（4－1）＋（5－1）＝9（次），

　　表面積： 6＋2×9＝24（平方米）．

答：60塊長方體表面積的和是24平方米．

例4 一個酒精瓶，它的瓶身呈圓柱形（不包括瓶頸），如下圖．已知它的容積為26.4π立方厘米．當瓶子正放時，瓶內的酒精的液麵高為6釐米．瓶子倒放時，空餘部分的高為2釐米．問：瓶內酒精的體積是多少立方厘米？合多少升？

分析 由題意，液體的體積是不變的，瓶內空餘部分的體積也是不變的，因此可知液體體積是空餘部分體積的3倍（6÷2）．

　62.172立方厘米＝62.172毫升＝0.062172升．

答：酒精的體積是62．172立方厘米，合0．062172升．

例5 一個稻穀囤，上面是圓錐體，下面是圓柱體（如下圖）．圓柱的底面周長是9.42米，高2米，圓錐的高是0.6米．求這個糧囤的體積是多少立方米？

分析 按一般的計算方法，先分別求出錐、柱的體積再把它們合併在一起求出總體積．但我們仔細想一想，如果把圓錐形的稻穀鋪平，把它變成圓

解：圓錐體化為圓柱體的高：

　　底面積：

體積：7.065×（2＋0.2）＝15.543（立方米）．

答：糧囤的體積是15.543立方米．

例6 皮球掉在一個盛有水的圓柱形水桶中．皮球的直徑為12釐米，水桶底面直徑為 60釐米．皮球有 2/3的體積浸在水中（下圖）．問皮球掉進水中後，水桶的水面升高多少釐米？

分析 皮球掉進水中後排擠出一部分水，使水面升高．這部分水的體積的大小等於皮球浸在水中部分的體積，再用這個體積除以圓柱形水桶底面積，就得到水面升高的高度．

解：球的體積：

　＝288π（立方厘米）．

水桶的底面積：π×302＝900π（平方釐米）．

例7 下圖所示為一個稜長6釐米的正方體，從正方體的底面向內挖去一個最大的圓錐體，求剩下的體積是原正方體的百分之幾？（保留一位小數）．

分析 直圓錐底面直徑是正方體的稜長，高與稜長相等．

剩下體積等於原正方體體積減去直圓錐體積．

解：正方體體積：63＝216（立方厘米）．

　　　　　　　　＝56.52（立方厘米）．

　　剩下體積佔正方體的百分之幾．

　　（216－56.52）÷216≈0.738≈73.8％．

答：剩下體積佔正方體體積的73.8％．

例8 有一個圓柱體的零件，高10釐米，底面直徑是6釐米，零件的一端有一個圓柱形的直孔，如下圖．圓孔的直徑是4釐米，孔深5釐米．如果將這個零件接觸空氣部分塗上防鏽漆，一共需塗多少平方釐米？

分析 解題時，既要注意圓柱體的外表面積，又要注意圓孔內的表面，同時還要注意到零件的底面是圓環．由於打孔的深度與柱體的長度不相同，所以在孔內還要有一個小圓的底面需要塗油漆，這一點不能忽略．但是，我們可以把小圓的底面與圓環拼成一個圓，即原圓柱體的底面．

解：塗漆面積：

　　＝3.14×（18＋60＋20）

　　＝3.14×98＝307.72（平方釐米）．