各位同學，上期葉老師向大家講述了函數的概念等內容，得到了一定的響應，大家可以回顧一下《 》，今天葉老師將按照考綱順序為大家講解一下高中階段求函數最值的常用方法，希望能夠對大家有所幫助。

作者簡介：葉老師，筆名“動人定理”，專職教師，數學學科研究員，目前擔任機構數學教研組組長及學生學業規劃師。曾供職合作於多家上市教育公司，對中高考數學考點有著深入認知與理解。擁有超過10000小時的高三畢業班學生一對一輔導經驗。

導讀

看過武俠小說的老鐵都知道，林更新那版的三少爺的劍法又帥又無敵。左右手持劍，72路劍法變144路。但如果說學好數學也要什麼144招，那估計老鐵們要跪。真正的數學高手通常用是減法來應對，很多什麼36種，24種方法，其實都可以概括為6種，求函數的最值也不例外。

今天，葉師傅就來教教你，如何掌握高中數學求函數最值的精髓，助你快速成為解題高手！

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雖然教材以及相關配套練習裡面求函數最值的方法已經有很多了，但是以葉老師多年來的教學經驗看，高考常考的求函數最值方法至多也就六種，特此一一舉例，希望能對大家有所幫助。

一、參數換元法

通俗點說：當f(x)由一個一次函數加上一個二次根式（被開方數也是一次函數）的時候，便可用參數換元法。

使用參數換元的原因及方法：在本形式下，由於這類函數是由一次函數和根式函數組合而成，總體單調性無法確定，並且被開方數為一次函數。因此可使用一般換元的思路，令t=√cx+d

，用t表示x，帶入原函數便可去掉原函數的根號得到一個關於t的二次函數，求解最值即可。

我們來看一道例題：

分析：本題定義域為x∈[1,+∞），在取值區間內，x單調遞增，√x-1也遞增，兩個單調增的函數相減無法直接判斷單調性，所以單調性無法確認，考慮使用參數換元。

下面來看一下具體的解題過程：

總結：在使用參數換元法時，請同學們注意：在換元后應立即求出參數t的取值範圍，並且馬上用t表示x。最後在求換元后求二次函數最值的時候還得考慮對稱軸t0是否在參數t的取值範圍內。

二、三角換元法

三角換元法與參數換元法算是兄弟方法，有許多可以類比的地方，其中有兩種情況下可以使用三角換元法：

使用三角換元法的原因以及方法：在這種情勢下，若使用參數換元法只能得到t^2與x^2之間的關係，操作起來比較麻煩，換元法本身的目的就是要使得題目變得更為簡單便捷，所以參數換元法失靈，考慮使用三角換元。這樣就可以利用三角恆等式將函數轉化為我們熟悉的三角函數求最值。另外第一種與第二種情況都有對應的三角換元方法（如下圖）大家可以看看：

下面我們來看一下情況①對應的例題：

分析：本題若使用參數換元法只能得到t^2與x^2之間的關係，操作起來比較麻煩，換元法本身的目的就是要使得題目變得更為簡單便捷，所以參數換元法失靈，考慮使用三角換元。並且觀察到x^2的係數為-1，對應了第一種情況，所以用公式①換元。

下面來看一下具體的解題過程：

下面我們來看一下情況②對應的例題：

分析：本題x^2前面的係數是1，所以考慮使用公式②。

下面來看一下具體的解題過程：

總結：三角換元是一個難點，大家在使用時需注意一下幾點：

①在換元之前必須先確定原函數f(x)的定義域，這樣才可求出sinθ或者tanθ的範圍，另外確定完sinθ或者tanθ的範圍後，還應該結合三角函數圖像確定θ角的範圍。

②必須熟練使用三角恆等公式，這就要求同學們順帶去複習三角函數與三角恆等變化有關章節的內容了

③做題時還得結合輔助角公式，這樣才能最終求解。

三、帶log的複合函數求最值

這類題型一般是對數函數結合二次函數進行考察，形如：

求這類函數最值的方法：本身對數函數y=loga x,就是單調函數，因此對於這類函數只要先求出括號裡面二次函數的最值，然後帶入函數整體即可。

PS:這類題型一般在高考中會考察值域問題

形如：

分析：由於函數y=log3x在定義域內單調遞增，因此只要求出括號裡面二次函數的最值，然後帶進去算就可求出答案。

看一下具體解題過程：

總結：此類問題在高考中主要以選擇填空為主，難度不會太高。但是同學們在做題的過程中還需注意：

①先求f(x)的定義域；

②求二次函數對稱軸以後，還要看看對稱軸是否在定義域內。

四、二次函數在閉區間內的最值問題

解決二次函數閉區間內最值問題的核心是：函數對稱軸與給定區間相對位置關係的討論。

一般分為：對稱軸在區間的左邊，中間，右邊三種情況.

其中考察最多的形式是：軸定區間變

即二次函數是確定的，但它的定義域區間是隨參數而變化的，我們稱這種情況是“定函數在動區間上的最值”。簡稱軸定區間變。

形如：

分析：本題給定的二次函數開口向上，並且求的是最大值，這說明它的最大值肯定是在端點處取到，絕不可能在對稱軸處取到。這點請同學們牢記。

下面來看下解析過程：

總結：這類題目要求學生對初中二次函數的內容有著深層次的理解，學會利用二次函數對稱軸以及單調性去判斷。並且還得運用上“區間中點”這個概念進行更進一步的討論。

五、利用基本不等式求函數最值

根據葉老師經驗，一個函數的最值如果能用基本不等式去求的話，那麼這類函數必須滿足下圖這種形式：

使用基本不等式求函數最值的方法：配項法，即配出基本不等式，用基本不等式的公式求解。

下面來看一道例題：

分析：

此題的函數由一個整式和一個分式結合而成，因此可用基本不等式法進行求解。不過求解的時候得注意x的範圍。

下面看一下具體的解析過程：

總結：此類題目的特徵比較明確，很容易讓大家聯想到用基本不等式求解。

不過在求解的過程中一定要注意x的取值範圍，一定要注意基本不等式成立的條件。

六、利用導數求函數最值（幾乎萬能，只要你有耐心）

細心的同學可能會發現，前面介紹的五種求函數最值的方法中被求函數的特徵都非常明顯，讓人很快就能想到相對應的方法。但是對於一些沒什麼特徵的普通函數，要求最值，只能用高中最常用的方法：求導。並且同學們應該可以發現，其實上述的五種方法中所對應的例題也可以用求導的方法做，只不過因為前面五種方法的函數特徵比較明顯，用對應的方法做會比較快。

因此希望同學們注意，今後如果實在想不出求函數最值的方法的話，就對函數進行求導，只要有耐心，就一定能算出結果。

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