05.23 数学史话之大衍求一秦九韶

中国数学在沈括之后，于南宋和元朝时期达到了繁荣的顶点，涌现了一大批卓有成就的数学家。其中以秦九韶、李冶、和朱世杰四人成就最为突出，被誉为"宋元数学四大家"。今天要讲的是他们中的第一个，南宋著名数学家秦九韶。

秦九韶

秦九韶大约于13世纪初出生在普州安岳（现在的四川安岳），祖籍是鲁郡（现在的山东滋阳、曲阜一带），他的父亲叫秦季槱（you三声），曾经担任巴州太守的官职。秦九韶大约在1202年（也有说1208年的）出生在他父亲的任职地安岳。到1219年，汉中军士发生兵变攻入四川，秦季槱带领家属来到临安，秦九韶也跟着来到了京城。史书上说秦九韶18岁的时候，在乡里纠集义兵，成为了义兵的领导人，后来才跟随父亲去了临安，这么看来，秦九韶应该是出生在1202年，而不是1208年。秦九韶到了临安之后，由于他父亲的缘故，他有机会阅读大量典籍，并拜访天文历法和建筑等方面的专家，请教天文历法和土木工程问题，甚至可以深入工地，了解施工情况．他又曾向"隐君子"陈元靓学习数学。通过一段时间的学习，秦九韶成为了一个博学多才的青年学者，史书上说他"性极机巧，星象、音律、算术，以至营造等事，无不精究，……游戏、毬、马、弓、剑，莫不能知"。1225年，秦九韶跟随父亲又去了四川，后来到了1244年，秦九韶在建康府当官，到1247年写成《数书九章》十八卷。1261年在梅州去世。

数书九章

《数书九章》一共收入了81个问题，分成了9类，分别是大衍类、天时类、田域类、测望类、赋役类、钱谷类、营建类、军旅类、市物类。在这9类中，最著名的要算是大衍求一术和高次数字方程解法。

所谓的"大衍求一术"实际上就是一次同余式组解法。大衍问题源于《孙子算经》中的"物不知数"问题："今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？"这是属于现代数论中求解一次同余式方程组问题。秦九韶在《数书九章》中对此类问题的解法作了系统的论述，并称之为大衍总数术。用现代数学语言描述"大衍类"问题，就是求一个正整数N，使N被A1除余R1，被A2除余R2，……被An除余Rn，其实就是求解一次同余式组N≡Ri（mod Ai）（i=1,2,……n）。在《数书九章·大衍类》中，秦九韶对"大衍总数术"首先给出由问数求定数的算法，然后再用"大衍求一术"来求乘率，得到乘率后再通过求出衍母、各个衍数、用数，最后再求出总数和所求率数，即求出所给的同余式组的解。秦九韶的"大衍求一术"要比高斯建立的同余理论早了500多年，被西方称为"中国剩余定理"。

所谓的"高次数字方程解法"是秦九韶在总结前人的开方法的基础上，将其用到任意次方程的有理或者无理根的求解上去的方法，它的名称叫"开玲珑三乘方"。在《数书九章》中，秦九韶用一个例题说明了这个方法，即"环田三积"问题，用现代的代数式表示即为：

他先用试除法确定根大约在20左右，然后作代换：x=20+x1，得到辅助方程

由于这里的x1是一个在0到1之间的数，可以略去高次项，就变成了577800x1-324506.25=0，但是秦九韶用了另外一个方法，将所有的高次项都变成一次项，方程就变成了

这样就可以得到解

于是x=20+x1=20.5494853，与实际的误差为0.005319，比前一种方法的误差要小。在《数书九章》中，秦九韶还提到了一个10次方程的例题，然后将其解出，秦九韶解方程的方法对于任意次方程都是适用的。在西方，英国人霍纳也发明了同样的解法，但是是在秦九韶之后500多年。此外，秦九韶还改进了一次方程组的解法，用互乘对减法消元，与现今的加减消元法完全一致。同时秦九韶又给出了筹算的草式，可使它扩充到一般线性方程中的解法。

另外，秦九韶还创用了"三斜求积术"等，给出了已知三角形三边求三角形面积公式，与海伦公式是完全等价的。

海伦公式

《数书九章》继承和发展了《九章算术》精神，概括了宋元时期我国传统数学的主要成就，是我国古代数学发展高峰的标志。秦九韶首创的大衍求一术和正负开方术曾长期影响着我国数学的研究方向，秦九韶的数学成就也代表了中世纪世界数学发展的主流和最高水平，在世界数学史上占有崇高的地位。它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最先进的应用数学，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系。