五月的田野
这个问题几乎包含了整个欧洲历史。太长太杂。这里小何简要概述一下。
古希腊是城邦制奴隶社会，也是欧洲文明历史的启蒙时期。然而，古希腊却没有所谓的统一国家概念，直到文明晚期压力山大大帝的崛起，把古希腊文明传播至欧亚非大陆，也随着压力山大的去世，希腊（马其顿）帝国也分裂解体了。
古罗马有个传说：创始人是狼养大的孩子，从现在的意大利南部小村逐步向外征服。所以带着狼图腾的民族大旗逐步插遍了欧洲大陆，也是罗马共和的巅峰。在征服的过程中也产生了大大小小的军阀。我们熟知的“凯撒大帝”就是罗马共和最后一任执政官，并未称帝，大帝也是后人追认。
凯撒死后，其养子“屋大维 奥古斯都”团结了凯撒之前的老部下，推翻元老院，成为第一任罗马帝国皇帝。
随着罗马帝国不断的征服，东西跨服过大。逐渐分解成以罗马为中心的西罗马和以君士坦丁堡为中心的东罗马（又称为拜占庭帝国）。
西罗马随着来自北欧及西迁匈奴等蛮族的入侵于公元5世纪灭亡。而东罗马帝国（拜占庭帝国）扛到了13世纪被奥斯曼帝国所灭。
以上即是题主问题的简略答复
小何才漏尖尖角
简单地说，希腊兴起时，罗马还在吃草，希腊繁荣时，罗马才刚建立，希腊全盛时，罗马还在努力抵御周围的蛮族，希腊开始衰落时，罗马在跟夙敌迦太基死磕，希腊完全分裂后，罗马才开始入侵希腊。罗马吞并希腊后，罗马却希腊化了，以继承希腊的文化为荣耀。用诗人贺维斯的话说：“希腊人成了罗马人的俘虏，希腊文化俘虏了罗马人。”
一、古希腊（爱琴海-色雷斯文明）
古希腊不是一个国家的概念，而是一个地区的称谓。古希腊位于欧洲的东南部、地中海的东北部，包括希腊半岛、爱琴海和爱奥尼亚海上的群岛和岛屿、土耳其西南沿岸、意大利东部和西西里岛东部沿岸地区。公元前3000-前2000年代的爱琴文化是其古希腊历史的先导。前12-前8世纪为荷马时代。前8-前4世纪为古典时代。前338年后，沦于马其顿统治之下。前4世纪后半叶亚历山大东征后为希腊化时代。前146年并入罗马版图。
二、古罗马、罗马共和国和东罗
古罗马指从公元前9世纪初在意大利半岛（即亚平宁半岛）中部兴起的文明，古罗马先后经历罗马王政时代（前753～前509年）、罗马共和国（前509～前 27年）、罗马帝国（前27～476年/1453年）三个阶段。公元395年，罗马帝国分裂为东西两部。西罗马帝国亡于476年。东罗马帝国(即拜占廷帝国) 变为封建制国家，1453年为奥斯曼帝国所灭（精罗掉泪）。
三、罗马共和国
罗马共和国（公元前509～公元前27年）（拉丁文：SENATVS POPVLVSQVE ROMANVS）是古罗马在前509年到前27年之间的政体，其正式名称是“元老院与罗马人民”。
公元前510年罗马人驱逐了前国王暴君卢修斯·塔克文·苏佩布（高傲者塔克文或者称小塔克文），结束了罗马王政时代，建立了罗马共和国，国家由元老院、执政官和部族会议（Comitia Tributa）三权分立。掌握国家实权的元老院由贵族组成。执政官由百人队会议从贵族中选举产生，行使最高行政权力。部族大会由男性平民和男性贵族构成。
前27年1月16日，罗马元老院授与屋大维“奥古斯都”的尊号，意为至尊·至高无上的意思。之后建立元首制。屋大维大权在握成为事实上的皇帝，建立了罗马帝国，但并没有公开称帝，罗马共和时代宣告结束。
四、东罗马帝国（拜占庭帝国）
东罗即是拜占廷帝国（英语：Byzantine Empire；395-1453年），又译拜占庭帝国，其建都于君士坦丁堡（今伊斯坦布尔）。拜占廷帝国共历经12个朝代，93位皇帝，是欧洲历史上最悠久的君主制国家。公元395年1月17日，罗马帝国皇帝狄奥多西一世（346-395年）逝世。临终前，将帝国东西部分与两个儿子继承。 其中的东罗马帝国延续了近千年之久，在此期间它一般被人简单地称为“罗马帝国”（Imperium Romanum）。到了17世纪，西欧的历史学家为了区分古代罗马帝国和中世纪神圣罗马帝国，便引入了"拜占廷帝国"这一称呼。
东罗马帝国的都城君士坦丁堡，是在希腊古城拜占庭的基础上建立起来的，起初其疆域包括巴尔干半岛、小亚细亚、叙利亚、巴勒斯坦、埃及、美索不达米亚及外高加索的一部分。到了皇帝查士丁尼在位时，又将北非以西、意大利和西班牙的东南并入版图。 554年，击败法兰克王国，拜占廷帝国的国力达到顶峰。
1204年，拜占廷帝国的首都君士坦丁堡曾被第四次十字军东征攻陷，直到1261年收复。1453年5月29日，奥斯曼帝国苏丹穆罕默德二世率军攻入君士坦丁堡（今为伊斯坦布尔），拜占廷帝国正式灭亡（精罗再次落泪）。
（帝国余晖，欧陆1444年开局）
大部分信息来自度娘，爪机手码，如有错误，还请海涵。
虎虎巴巴
针对于这个问题只能粗略的做一下解释
古希腊人不是罗马人，但是罗马和后来被罗马人吸收的各个意大利民族在文明尚未兴起的时候，吸收了希腊的文化
古罗马是罗马王政时代—罗马共和国—罗马帝国这一时间罗马的统称
罗马共和国是古罗马扩张称霸西方的时间段，很多著名的战役和改革都发生在此时
东罗马是罗马帝国分裂之后建立的国家，由于帝国中心在希腊和亚细亚所以主体民族是希腊人。
如果想要具体了解他们之间的复杂关系，恐怕要研究整个欧洲史才能搞懂，毕竟跨度太大，时间节点太多，恕不能做更详细的介绍。
王洪宁
先是有了古希腊的城邦，比如雅典，斯巴达。都是一些小国家，小国寡民。波斯人入侵，毁灭了希腊文明。然后在希腊的废墟上崛起了罗马共和国。罗马先是共和国，然后在屋大维执政时期慢慢转变为帝国，然后就有了罗马帝国。而后在狄奥多西大帝死后，罗马分裂成东西两块，就是西罗马和东罗马（拜占庭）帝国。
竹杖芒鞋怕打滑
一部谎言史诗。直到现在谎言还在编造中……然后在重复一千遍……
