我們可以藉助實數的四則運算法則來定義複數的四則運算。複數的加減法為(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b+d)i
注意到i2=-1，定義複數的乘法為
(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2
=(ac-bd+(ad+bc)i
可以看到，兩個複數的乘積為0當且僅當其中一個複數為0，這與實數的情況是一樣的。特別稱a-bi為a+bi的共軛，兩個共軛複數的乘積為實數，即
(a+bi)(a-bi)=a2+b2
當c和d不同時為零時，令分子分母同乘分母的共軛，定義複數的除法為
(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c2+d2)+[(bc-ad)/(c2+d2)]i
有了上面的定義，我們就可以求任意二次方程的解了，比如x
2-2x+2=0，由韋達公式可以得到兩個解為x1=1+i和x2=1-i。高斯非常認真地研究了複數，他在1801年發表地《算術研究》中考慮了復整數地問題，即複數a+bi中a和b均為整數的問題；他考慮了復素數的問題，所謂的復素數是指：不能分解為除±1和±i以外復整數乘積的形式的複數。這樣，在實數集合R中的素數在複數集合C中就不一定是復素數了，比如5在實數集合是一個素數，但在複數集合中卻可以表示為兩個共軛數乘積的形式，即5=(1+2i)(1-2i)，因此，5在C中就不是素數。特別是，高斯證明了我們在《數的性質》一講中提到的“任何一個整數都可以唯一表示為若干個素數的乘積的形式”這個事實對於復整數也成立，於是，就開闢了今天被稱為代數數論的新的研究鄰域。
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