复数的意义——复数的运算

我们可以借助实数的四则运算法则来定义复数的四则运算。复数的加减法为(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b+d)i

注意到i²=-1，定义复数的乘法为

(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi²

=(ac-bd+(ad+bc)i

可以看到，两个复数的乘积为0当且仅当其中一个复数为0，这与实数的情况是一样的。特别称a-bi为a+bi的共轭，两个共轭复数的乘积为实数，即

(a+bi)(a-bi)=a²+b²

当c和d不同时为零时，令分子分母同乘分母的共轭，定义复数的除法为

(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c²+d²)+[(bc-ad)/(c²+d²)]i

有了上面的定义，我们就可以求任意二次方程的解了，比如x

高斯非常认真地研究了复数，他在1801年发表地《算术研究》中考虑了复整数地问题，即复数a+bi中a和b均为整数的问题；他考虑了复素数的问题，所谓的复素数是指：不能分解为除±1和±i以外复整数乘积的形式的复数。这样，在实数集合R中的素数在复数集合C中就不一定是复素数了，比如5在实数集合是一个素数，但在复数集合中却可以表示为两个共轭数乘积的形式，即5=(1+2i)(1-2i)，因此，5在C中就不是素数。特别是，高斯证明了我们在《数的性质》一讲中提到的“任何一个整数都可以唯一表示为若干个素数的乘积的形式”这个事实对于复整数也成立，于是，就开辟了今天被称为代数数论的新的研究邻域。

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關鍵字: 复数 乘法 加减法