“检验法”,是指对问题解决的结论进行检查、验收的方法。检验,确切地说即通过反思、回放解题情景、规律、依据、运算等,对问题结论的正确性、准确性、实用性和完整性等作重新确认。
归纳起来,检验法的任务:
⑴检验结论的正确性。即在数理思维过程中,对解方程(组)、不等式、函数、数列等所得出的结果(初步答案),进行细致、必要的检查和验收,看其是否正确。实际情况下,或可试用量纲法。
⑵检验结论的准确性。准确性,主要指结果的精确程度,包括物理量的大单位、保留几位小数或有效数字、或者是否采用科学记数法等。
⑶讨检验结论的实用性。正确的、准确的初步答案,并不一定是题目所需要的答案,这里就要一个“结果” 是否合情合理,是否切合实际的问题。比如负数或虚数的时间,则必须舍去。
⑷检验结论的完整性。比如力的分解的解是否是唯一的,是两个解还是无解;再如在波动问题中,所求的波是向左还是向右传播的?波长或者波速有多少个可能的量值等等。
理论上讲题解的检验,无外乎实际检验和理论检验两种方式。具体解题时,常用实际、规律、量纲、特例、量纲、估算、转换等检验方法。
下面,通过一些解题实例展开我们的讨论。
【例题解析】
一.实际检验
即看所得结果,是否符合实际情况的思维方法。
无论解题所用的方法、概念、规律以及数学运作等等如何,若所得结果与客观事实不符,则可据此判断这一结果必定错误。
【例题1】从20m高处落下的水,如果水的势能的20%用来使水的温度升高,水落下后的温度升高多少度?
【错解】根据能的转化和守恒定律,可得
不难由此求出
既然从20m高处落下的水,温度可升高9.30C,则由
正比关系顺推,似乎雨点从200m的高处落下,温度就能升高930C。有谁见过雨点把人烫伤的吗?
显然,上述结果与事实不相符合。原因在于取水的比热
时,公式两边的质量单位并不相同。若改取
则由上式可得正确答案
【例题2】质量为10g的子弹以300m/s的初速度水平射入固定的木板内,若其动能全部转化为内能,且有42%被子弹吸收。试求子弹的温度将升高多少?(子弹材料的比热容
【解析】设子弹的温度将升高
,则子弹吸收的内能
由题意,可知由动能转化为子弹的内能
根据热平衡方程
可得
从而
显然,这一结果不符合实际。其原因在于式中比热容的单位取错了,正确的数据应为
,实际温度升高只有80℃才对。
【例题3】一平行电容器,板间距离为0。1mm,板长为100mm,一束带电粒子经电压为
的匀强电场加速后,飞入平行板中央(两板水平放置)。若板间电压为
,则带电粒子的侧移是多少?已知粒子在匀强偏转电场中的侧移为
【错解】带电粒子经过匀强电场加速后,由动能定理可知粒子应满足
关系。联系到粒子经匀强偏转电场中的侧移公式
由此二式可得
亦即带电粒子的侧移为10-4m
【检验】从这道题思维方法、思路、应用规律等看,似乎一点无可挑剔。但是通过以下分析可知,10-4m的侧移是不可能发生的。这是因为当偏转电场电压为
时,粒子的侧移即达到最大值
,即使偏转电压再高,也不可能出现题解的数据。事实上,在偏转电压
时,侧移只能是
,粒子打到电容器的下板上而不能射出。
【例题4】如图8—1—1所示,长1m、内径均匀的细玻璃管,当开口向上竖直放置时,有一段长为15cm的水银柱封住一段长60cm的空气柱。若把玻璃管缓慢地倒置于竖直位置,则空气柱有多长?(大气压
)
【错解】首先,以管内被封闭的气体为研究对象。设玻璃管开口向上的状态为初状态1,则有
玻璃管开口向下的状态为末状态2,则有
然后,由玻——马定律,可得
由此求出L=90cm,亦即玻璃管倒置时,空气柱的长度为90cm.。
【检验】分析可知,当玻璃管倒置时空气柱与水银柱的总长度
,显然已经超过玻璃管的长度,与实际情况不符。因此,解题结果是错误的。应当考虑到,在由竖直向上到竖直向下的转动过程中,应有部分水银流出。因而,可设末状态时水银柱长度为
h,再由玻——马定律得
最后,由此求出
,而被封闭空气柱的长度实际为87cm.
应该强调,为了用实际检验法,还要记清一些重要的物理量的数值的数量级,例如常用的交通工具的速率,常见用电器的功率,一些物质的密度、电阻率、折射率,各色光的波长、频率等。
二.规律检验
理论检验,亦即验证或证明。即看所得结果,是否符合物理规律的思维方法。
无论解题所用的方法、概念、规律以及数学运作等等如何,若所得结果与物理规律不符,则可据此判断这一结果必定错误。
【例题5】将
的冰投入
的水中,求混合后的温度?(设系统外界无热交换)
【错解】设混合后的最终温度为t,则冰完全熔解并升温至t,总共吸收的热量
而热水由原来的温度
降至t,放出的热量
根据热平衡方程得
,从而
由此,不难求出
【检验】从纯数学运算看,这一结果无懈可击,数理检验似乎是合理的。然而,低温的冰与水混合后的吸热过程,出现终末温度反而比初始温度更低的现象,显然不符合热交换的自然规律。
分析错误的原因,在于盲目地认为冰会全部熔解,也没有具体分析两者混合后具有怎样的最终状态。
【正解】首先,应比较热水降温至0℃时,所放出的热量Q放,与冰升温至0℃时所吸收的热量Q吸,即
显然
,由此可知冰不会全部熔解,这一内热交换过程,最终形成冰水混合物,其温度为
三.量纲检验
即对于某个物理量的量纲,通过所得结果与标准的相互比较、对照,检验结果是否正确的思维方法。
有些选择题可从物理量单位的量纲出发,筛选出正确选项。
【例题6】 如图8—1—2所示:劲度系数为k的弹簧,竖直悬挂,在其下端挂一质量为m 的砝码,然后从弹簧原长处由静止释放砝码,此后(A )
A. 砝码将作简谐振动 B. 砝码的最大速度是2mg/k
C. 砝码的最大加速度是2g D. 弹簧的最大弹性势能是2mg2 /k
【解析】用单位判断法解——B答案中 mg/k的单位是长度单位, D答案 中mg2 /k的单位是(米/秒)2, 砝码的最大加速度应是g
。所以A正确。
例如周期公式有:单摆:
,简谐振动的弹簧振子:
,LC振5电路:
,三者的根号中的单位必须是s2,否则错误;当你记不准确公式(例如单摆公式中l
和g谁在分子上,谁在分母上)时,也可按此法处理,即l/g单位为
m/k单位为
,LC单位为
可见三公式量纲之正确性。
【例题7】图8—1—3中所示为一双线摆,,它是一水平面下用两根等长细线悬挂一个小球而构成,绳的质量可以忽略。设图中L和α为已知量,当小球垂直于纸面做简谐振动时,其周期为________.
【解析】用等效法可得出,此双线摆相当于摆长为
的单摆,故周期为:
,因sinα无量纲,所以本式量纲正确。
应该强调,检验物理量的量纲,是判断结果对错的必要条件,即量纲错,结果一定错;而不是充分条件,即量纲对,结果却不一定对。
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