一、《有理數》重要概念
1.正數、負數和0
正數：大於0的數
負數：小於0的數
零：0既不是正數，也不是負數
2.有理數的分類
有理數分類1：按定義分類
整數：正整數、零、負整數（零和正整數統稱為自然數）
分數：正分數，負分數
有理數分類2：按符號分類
正有理數：正整數、正分數
零
負有理數：負整數、負分數
3.與“非”有關的重要概念
非零：不為0（正數或負數）
非負數：正數和0統稱為非負數
非正數：負數和0統稱為非正數
非負整數：滿足非負和整數這兩個條件的數，即0和正整數。（0，1，2，3，......）
非正整數：滿足非正和整數這兩個條件的數，即0和負整數。（0，-1，-2，-3，......）
4.數軸
數軸是規定了唯一的原點、正方向和單位長度的直線。
注意：原點、正方向、單位長度稱為數軸的三要素，三者缺一不可。
一切有理數都可以用數軸上的點來表示，但是數軸上的點不都是有理數，還有無理數。比如π。
在數軸上，表示正數的點都在原點的右側，表示負數的點都在原點的左側。
右邊的點所對應的數總比左邊的點所對應的數大。
5.相反數
像2和-2，5和-5這樣，只有符號不同的兩個數，互為相反數。
特別的，0的相反數是0
相反數的幾何意義：一對相反數（0除外）在數軸上應分別位於原點的兩側，並且到原點的距離相等。這兩點是關於原點對稱的。
注意：相反數是成對出現的，不能單獨存在。
求相反數：求一個數或一個代數式的相反數，只要在這個數或代數式前面添上“-”號即可。
類型1：a的相反數是-a，a的相反數是-（-a）=a
類型2：a+b的相反數是-（a+b），a-b的相反數是-（a-b）
多重符號化簡：
一個正數前面不管有多少個“+”號，都可以全部去掉。
一個正數前面有偶數個“-”號，也可以把“-”號全部去掉。
一個正數前面有奇數個“-”號，則化簡後只保留一個“-”號。
6.絕對值
一般地，數軸上表示數a的點與原點的距離叫做數a的絕對值，記作|a|
正數的絕對值等於它本身
負數的絕對值等於它的相反數
0的絕對值等於0
絕對值的非負性
任何數a的絕對值都大於等於0，即|a|≥0
如果若干個非負數的和為0，那麼這若干個非負數都必為0。
如果|a|+|b|=0，那麼a=0，b=0（俗稱“0+0=0”模型）
如果|a|+|b|+|c|=0，那麼a=0，b=0，c=0（俗稱“0+0+0=0”模型）
7.倒數
規則1：如果兩個數的乘積等於1，那麼這兩個數互為倒數。
規則2：特別地，0沒有倒數。
用字母表示：如果ab=1，那麼a、b互為倒數。
負倒數：乘積為-1的兩個數互為負倒數。
二、《有理數》重要運算技能
1.有理數的加法法則
類型1：同號兩數相加，取相同的符號，並把絕對值相加（口訣：越加越大）
例子：+3+2=+（3+2）=+5
類型2：異號兩數相加，
絕對值相等時，和為0（口訣：互為相反數的兩個數相加得0）
例子：+3+（-3）=0
絕對值不相等時，取絕對值較大的數的符號，並用較大的絕對值減去較小的絕對值
例子：+3+（-2）=+（3-2）=+1（口訣：正的多）
例子：+3+（-4）=-（4-3）=-1（口訣：負的多）
類型3：一個數同0相加，仍得這個數
2.有理數減法法則
有理數的減法法則：減去一個數，等於加上這個數的相反數。
用字母表示：a-b=a+（-b）
例子：2-5=2+（-5）
3.有理數加法運算律
在有理數的加法中，加法的運算律與結合律仍然適用
加法交換律：
a+b=b+a
a+（-b）=（-b）+a
a-b=-b+a
加法結合律：
a+(b+c)=(a+b)+c
a+b+c=a+（b+c）
a+b-c=a+（b-c）
a-b-c=a+（-b-c）
4.有理數加減混合運算簡便方法
有理數的加減混合運算步驟：
把算式中的減法轉化為加法
運用有理數加法法則、加法運算律進行計算，求出結果
簡便方法
同號結合
同分母結合
湊整數集合
相反數結合
5.有理數的乘法法則
法則1：兩數相乘，同號得正，異號得負，並把絕對值相乘。
法則2：任何數與0相乘，積都得0.
注意：當用字母表示乘數時，“×”號可以寫作“·”或省略不寫。
例子：a×b應該寫作：a·b或ab
積的符號確定
幾個有理數相乘，因數都不為0時，積的符號由負因數的個數確定，當負因數有偶數個時，積為正，當負因數有奇數個時，積為負。簡稱“奇負偶正”
有理數乘法運算律
乘法交換律：ab=ba
乘法結合律：a（bc）=（ab）c
乘法分配律：a（b+c）=ab+ac
乘法分配律逆用：ab+ac=a（b+c）
乘法的簡便運算：
乘法分配律
逆用乘法分配律
能約分的先結合
互為倒數的先結合
6.有理數的除法法則
法則1：除以一個不為0的數等於乘以這個數的倒數；
法則2：兩個有理數相除，同號得正，異號得負，並把絕對值相除；
法則3：0除以任何非0的數都得0，0不能作除數。
7.乘方
乘方：求n個相同因數a積的運算叫做乘方；
冪：乘方的結果叫做冪，a叫做底數，n叫做指數，a^n讀作a的n次冪（或a的n次方）
注意：一個數可以看作這個數本身的一次方
例子：5就是5的1次方，指數1通常省略不寫。
乘方的符號法則
法則1：正數的任何次冪都是正數
法則2：0的任何正數次冪都是0
法則3：負數的偶數次冪是正數，奇數次冪是負數
設n為正整數，則（-1）^2n=1，（-1）^2n-1=-1
平方具有非負性
任意有理數的平方都大於等於0，即平方數具有非負性。
用字母表示：a²≥0
更一般地，有理數的偶次冪具有非負性，奇次冪具有保號性（符號不變）。
8.有理數混合運算
法則1：先算乘方，再算乘除，最後算加減；
法則2：有括號的先算括號裡面的，再算括號外面的；一般先算小括號的，再算中括號的，最後算大括號的；
法則3：在每一步運算中，都要先確定符號，再確定絕對值。
9.科學記數法
科學計數法：把一個大於10的數表示成a×10^n的形式（其中1≤a<10，n是正整數），這種記法叫做科學記數法；
有效數字：從一個數的左邊第一個非0數字起，到末位數字止，所有數字都是這個數的有效數字。
熟記：1萬=1×10^4，1億=1×10^8
三、《有理數》重要性質推理
1.最大的與最小的：
a為最小的正整數，推出a=1。
b為最大的負整數，推出b=-1。
c是絕對值最小的數，推出c=0。
2.互為相反數：
如果a與b互為相反數，那麼a+b=0或a=-b或b=-a。
如果a+b=0或a=-b或b=-a，那麼a與b互為相反數。
3.互為倒數：
如果a與b互為倒數，那麼ab=1或a=1/b或b=1/a。
如果ab=1或a=1/b或b=1/a，那麼a與b互為倒數。
4.絕對值等於a
如果一個數的絕對值等於a
那麼a一定大於等於0。
那麼這個數等於±a。
例子：如果|x|=10，那麼x=±10。
5.本身的數
倒數等於本身的數，這個數是±1；
相反數等於本身的數，這個數是0；
絕對值等於本身的數，這個數是非負數（0和正數）；
6.a、b符與ab符號
如果a，b同號（同正或同負），那麼ab＞0
如果ab>0，那麼a、b同號（同正或同負）。
如果a，b異號（一正一負），那麼ab<0。
如果ab<0，那麼a，b異號（一正一負）。
如果ab=0，那麼a，b有一個為0或a，b同時為0。
如果a，b有一個為0或a，b同時為0，那麼ab=0。
已知ab>0且a+b>0，推出a>0且b>0
已知ab>0且a+b<0，推出a<0且b<0
已知a+b+c=0且a>b>c，推出a>0且c<0
7.絕對值
如果|a|，那麼|a|≥0（絕對值為非負數）
8.絕對值相等
如果兩個數互為相反數，那麼它們的絕對值相等。
如果a+b=0，那麼|a|=|b|。
|a|=|-a|
|a-b|=|b-a|
如果兩個數的絕對值相等，那麼它們相等或互為相反數。
如果|a|=|b|，那麼a=b或a=-b（要麼相等，要麼相反）。
9.絕對值之和
如果|a|+|b|=|a+b|，那麼ab≥0。
如果|a|+|b|=0，那麼a=0且b=0。
10.絕對值相乘或乘除
|a||b|=|ab|
|a|/|b|=|a/b|
11.絕對值平方
|a|²=|a²|=a²
12.平方數
如果a²，那麼a²≥0（平方數為非負數）。
如果a=x²+1，無論x為任何數
那麼a≥1
那麼a>0
那麼a的最小值是1
13.非負性
已知|a|+b²=0，推出a=0，b=0（0+0=0模型）。
14.平方數大小比較
如果0
如果n 如果m²>n²，那麼|m|>|n|。 如果|m|>|n|，那麼m²>n²。 15.倒數大小比較 如果0 例子：5>3→1/5<1/3 如果n 例子：-5-1/3 如果n<0 例子：5>-3→1/5>-1/3 1.分類討論思想 化簡絕對值題型 2.數形結合思想 有理數在數軸上的位置題型 絕對值的幾何意義題型
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