一、《有理数》重要概念
1.正数、负数和0
正数：大于0的数
负数：小于0的数
零：0既不是正数，也不是负数
2.有理数的分类
有理数分类1：按定义分类
整数：正整数、零、负整数（零和正整数统称为自然数）
分数：正分数，负分数
有理数分类2：按符号分类
正有理数：正整数、正分数
零
负有理数：负整数、负分数
3.与“非”有关的重要概念
非零：不为0（正数或负数）
非负数：正数和0统称为非负数
非正数：负数和0统称为非正数
非负整数：满足非负和整数这两个条件的数，即0和正整数。（0，1，2，3，......）
非正整数：满足非正和整数这两个条件的数，即0和负整数。（0，-1，-2，-3，......）
4.数轴
数轴是规定了唯一的原点、正方向和单位长度的直线。
注意：原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可。
一切有理数都可以用数轴上的点来表示，但是数轴上的点不都是有理数，还有无理数。比如π。
在数轴上，表示正数的点都在原点的右侧，表示负数的点都在原点的左侧。
右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大。
5.相反数
像2和-2，5和-5这样，只有符号不同的两个数，互为相反数。
特别的，0的相反数是0
相反数的几何意义：一对相反数（0除外）在数轴上应分别位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。这两点是关于原点对称的。
注意：相反数是成对出现的，不能单独存在。
求相反数：求一个数或一个代数式的相反数，只要在这个数或代数式前面添上“-”号即可。
类型1：a的相反数是-a，a的相反数是-（-a）=a
类型2：a+b的相反数是-（a+b），a-b的相反数是-（a-b）
多重符号化简：
一个正数前面不管有多少个“+”号，都可以全部去掉。
一个正数前面有偶数个“-”号，也可以把“-”号全部去掉。
一个正数前面有奇数个“-”号，则化简后只保留一个“-”号。
6.绝对值
一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|
正数的绝对值等于它本身
负数的绝对值等于它的相反数
0的绝对值等于0
绝对值的非负性
任何数a的绝对值都大于等于0，即|a|≥0
如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0。
如果|a|+|b|=0，那么a=0，b=0（俗称“0+0=0”模型）
如果|a|+|b|+|c|=0，那么a=0，b=0，c=0（俗称“0+0+0=0”模型）
7.倒数
规则1：如果两个数的乘积等于1，那么这两个数互为倒数。
规则2：特别地，0没有倒数。
用字母表示：如果ab=1，那么a、b互为倒数。
负倒数：乘积为-1的两个数互为负倒数。
二、《有理数》重要运算技能
1.有理数的加法法则
类型1：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加（口诀：越加越大）
例子：+3+2=+（3+2）=+5
类型2：异号两数相加，
绝对值相等时，和为0（口诀：互为相反数的两个数相加得0）
例子：+3+（-3）=0
绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值
例子：+3+（-2）=+（3-2）=+1（口诀：正的多）
例子：+3+（-4）=-（4-3）=-1（口诀：负的多）
类型3：一个数同0相加，仍得这个数
2.有理数减法法则
有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
用字母表示：a-b=a+（-b）
例子：2-5=2+（-5）
3.有理数加法运算律
在有理数的加法中，加法的运算律与结合律仍然适用
加法交换律：
a+b=b+a
a+（-b）=（-b）+a
a-b=-b+a
加法结合律：
a+(b+c)=(a+b)+c
a+b+c=a+（b+c）
a+b-c=a+（b-c）
a-b-c=a+（-b-c）
4.有理数加减混合运算简便方法
有理数的加减混合运算步骤：
把算式中的减法转化为加法
运用有理数加法法则、加法运算律进行计算，求出结果
简便方法
同号结合
同分母结合
凑整数集合
相反数结合
5.有理数的乘法法则
法则1：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
法则2：任何数与0相乘，积都得0.
注意：当用字母表示乘数时，“×”号可以写作“·”或省略不写。
例子：a×b应该写作：a·b或ab
积的符号确定
几个有理数相乘，因数都不为0时，积的符号由负因数的个数确定，当负因数有偶数个时，积为正，当负因数有奇数个时，积为负。简称“奇负偶正”
有理数乘法运算律
乘法交换律：ab=ba
乘法结合律：a（bc）=（ab）c
乘法分配律：a（b+c）=ab+ac
乘法分配律逆用：ab+ac=a（b+c）
乘法的简便运算：
乘法分配律
逆用乘法分配律
能约分的先结合
互为倒数的先结合
6.有理数的除法法则
法则1：除以一个不为0的数等于乘以这个数的倒数；
法则2：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
法则3：0除以任何非0的数都得0，0不能作除数。
7.乘方
乘方：求n个相同因数a积的运算叫做乘方；
幂：乘方的结果叫做幂，a叫做底数，n叫做指数，a^n读作a的n次幂（或a的n次方）
注意：一个数可以看作这个数本身的一次方
例子：5就是5的1次方，指数1通常省略不写。
乘方的符号法则
法则1：正数的任何次幂都是正数
法则2：0的任何正数次幂都是0
法则3：负数的偶数次幂是正数，奇数次幂是负数
设n为正整数，则（-1）^2n=1，（-1）^2n-1=-1
平方具有非负性
任意有理数的平方都大于等于0，即平方数具有非负性。
用字母表示：a²≥0
更一般地，有理数的偶次幂具有非负性，奇次幂具有保号性（符号不变）。
8.有理数混合运算
法则1：先算乘方，再算乘除，最后算加减；
法则2：有括号的先算括号里面的，再算括号外面的；一般先算小括号的，再算中括号的，最后算大括号的；
法则3：在每一步运算中，都要先确定符号，再确定绝对值。
9.科学记数法
科学计数法：把一个大于10的数表示成a×10^n的形式（其中1≤a<10，n是正整数），这种记法叫做科学记数法；
有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字。
熟记：1万=1×10^4，1亿=1×10^8
三、《有理数》重要性质推理
1.最大的与最小的：
a为最小的正整数，推出a=1。
b为最大的负整数，推出b=-1。
c是绝对值最小的数，推出c=0。
2.互为相反数：
如果a与b互为相反数，那么a+b=0或a=-b或b=-a。
如果a+b=0或a=-b或b=-a，那么a与b互为相反数。
3.互为倒数：
如果a与b互为倒数，那么ab=1或a=1/b或b=1/a。
如果ab=1或a=1/b或b=1/a，那么a与b互为倒数。
4.绝对值等于a
如果一个数的绝对值等于a
那么a一定大于等于0。
那么这个数等于±a。
例子：如果|x|=10，那么x=±10。
5.本身的数
倒数等于本身的数，这个数是±1；
相反数等于本身的数，这个数是0；
绝对值等于本身的数，这个数是非负数（0和正数）；
6.a、b符与ab符号
如果a，b同号（同正或同负），那么ab＞0
如果ab>0，那么a、b同号（同正或同负）。
如果a，b异号（一正一负），那么ab<0。
如果ab<0，那么a，b异号（一正一负）。
如果ab=0，那么a，b有一个为0或a，b同时为0。
如果a，b有一个为0或a，b同时为0，那么ab=0。
已知ab>0且a+b>0，推出a>0且b>0
已知ab>0且a+b<0，推出a<0且b<0
已知a+b+c=0且a>b>c，推出a>0且c<0
7.绝对值
如果|a|，那么|a|≥0（绝对值为非负数）
8.绝对值相等
如果两个数互为相反数，那么它们的绝对值相等。
如果a+b=0，那么|a|=|b|。
|a|=|-a|
|a-b|=|b-a|
如果两个数的绝对值相等，那么它们相等或互为相反数。
如果|a|=|b|，那么a=b或a=-b（要么相等，要么相反）。
9.绝对值之和
如果|a|+|b|=|a+b|，那么ab≥0。
如果|a|+|b|=0，那么a=0且b=0。
10.绝对值相乘或乘除
|a||b|=|ab|
|a|/|b|=|a/b|
11.绝对值平方
|a|²=|a²|=a²
12.平方数
如果a²，那么a²≥0（平方数为非负数）。
如果a=x²+1，无论x为任何数
那么a≥1
那么a>0
那么a的最小值是1
13.非负性
已知|a|+b²=0，推出a=0，b=0（0+0=0模型）。
14.平方数大小比较
如果0
如果n 如果m²>n²，那么|m|>|n|。 如果|m|>|n|，那么m²>n²。 15.倒数大小比较 如果0 例子：5>3→1/5<1/3 如果n 例子：-5-1/3 如果n<0 例子：5>-3→1/5>-1/3 1.分类讨论思想 化简绝对值题型 2.数形结合思想 有理数在数轴上的位置题型 绝对值的几何意义题型
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