我們知道以下前n項自然數平方和的計算公式:
有很多關於這個公式的證明方法,比如數學歸納法、待定係數法、裂項相消法等。今天介紹兩個數形結合的方法。
方法一
我們知道前n項自然數的和
於是
這是巧合嗎?
把左邊平方和拆開,乘法拆成加法,寫成
第一行1個數,第二行2個數,第三行3個數,...,第n行n個數,這樣一共(1+2+3+...+n)=n(n+1)/2 個數相加。
簡記為一張三角形圖:
逆時針旋轉120°,得到
再逆時針旋轉120°,又得到
對上面三個三角形,相同位置處的三個數對應相加,其和恰為定值(2n+1),即:
於是
方法二
立體的看,平方和就是下面所有方塊的體積和:
堆起來,就是
類似地,取三堆相同的
然後再堆起來
最上面一層的方塊,從中間切開,拼到缺的那部分,就得到一個三邊分別為n+1/2,n,n+1的長方體:
於是總體積
當然,第二種方法也可以取6堆,直接拼成一個三邊分別為2n+1,n,n+1的長方體。
殊途同歸。
最後附贈一個自然數立方和的圖解:
閱讀更多 談數論理 的文章