拿破崙定理
拿破崙定理是法國著名的軍事家拿破崙·波拿巴最早提出的一個幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊，向外構造三個等邊三角形，則這三個等邊三角形的重心恰為另一個等邊三角形的頂點。”該等邊三角形稱為拿破崙三角形。如果向內作三角形，結論同樣成立。
這篇短文講述如何用複數證明這個定理。可以看成高中複數的擴展內容，是我用於高中數學競賽訓練擴展思路的材料。可做為教競賽或者教想考好大學的老師教學，以及優秀的高中同學學習參考。
1.複平面的三點比-預備知識
我們知道，複數是複平面的一個點。設三個複數z1，z2，z3，可以定義三點比為
V(z1，z2，z3)=( z2- z1)/ ( z3- z1). 三點比V(z1，z2，z3)是個複數，其復角就是複平面上⊿z2 z1z3中∠z2z1z3的有向大小。而模是邊z1 z2與z1 z3的長度比。角度相等對應邊成比例，在平面幾何中是三角形相似的判別條件。而在複平面上，⊿z2z1z3∽⊿w1w2w3等價於V(z1，z2，z3)= V（ w1，w2，w3）。展開的話，不難看出也可以寫成行列式：
利用相似，我們來看正三角形⊿z1z2z3的判據：對於正三角形來說：由於z1z2z3∽⊿z3z1z3，就有：
拿破崙定理的證明
圖1
圖2
證明：⊿A1BC∽⊿1ωω2，⊿BC1A∽⊿1ωω2，⊿CAB1∽⊿⊿1ωω2
由複平面相似三角形條件，就有：
下面計算
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