鸡兔同笼问题

鸡兔同笼问题在现实生产生活中有广泛的应用。鸡兔同笼是指鸡与兔在同一个笼中，已知鸡与兔的总头数，和鸡与兔的总足数，求鸡和兔各有多少只的应用题。

解题方法：假设法，抬腿法，方程法。鸡兔同笼问题也叫做简换问题。解答时，一般采用假设法，即假定全部只数都是鸡或者都是兔，算出假定情况下的足数和实际的足数和、足数差，然后推算出鸡和兔的只数。

主要的数量关系：

如果假定全部是鸡，那么
① 兔的只数＝（总足数－每只鸡的足数×总头数）÷（每一只鸡与兔足数的差）
简写就是
兔的只数＝（总足数－2×总头数）÷2

② 鸡的总只数＝总头数－兔的只数
如果假定全部是兔，则
① 鸡的只数＝（每只兔的足数×总头数－总足数）÷（每一只鸡与兔足数的差）
简单写就是
鸡的只数＝（4×总头数－总足数）÷2
② 兔的只数＝总头数－鸡的只数

例1：鸡兔同笼，共有8个头，26条腿，问鸡和兔各有几只？

分析：鸡有2只脚，兔有4只脚，如果兔子抬起两只脚，那么鸡和兔都是两只脚，则一共有脚8×2＝16（只），比实际少了26－16＝10（只）。为什么会少10只？因为每只兔子少算了2只脚，一共少算了10只脚，所以兔子有10÷2＝5（只）。知道兔子数量，就容易求出鸡的只数了。

例2：今有鸡兔同笼，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。问笼中各有多少只鸡和兔？

分析：鸡有2只脚，兔有4只脚，如果把兔子都抬起两只脚，鸡和兔的总脚数就是2×35＝70（只），但比实际的94只脚要少94－35×2=24（只）。为什么会少了24只脚呢？是因为每只兔只算了2只脚，也就是每只兔子都少算了2只脚，一共少算了24只脚，所以兔子就是24÷2＝12（只）。

解法一：

（1）假设全是鸡，那么一共有脚：2×35＝70（只）

（2）比实际少了的脚数：94－70＝24（只）

（3）兔子的数量：24÷（4－2）＝12（只）

（4）鸡的数量：35－12＝23（只）

解法二：

（1）假设全是兔，那么一共有脚：4×35＝140（只）

（2）比实际多了的脚数：140－94＝46（只）

（3）鸡的只数：46÷（4－2）＝23（只）

（4）兔的只数：35－23＝12（只）

解法三：（一元一次方程）（五年级）

注：通常设方程时，选择腿的只数多的动物，会在套用到其他类似鸡兔同笼的问题上，好算一些。

解法四：（二元一次方程组）（初中）

例3：60分邮票和80分邮票共有50张，已知它们的总面值是34元（3400分），这两种邮票各有多少张？

分析：假设这50张邮票全是60分的，共值60×50＝3000（分），比实际少3400－3000＝400（分），如果将一张60分的邮票换成80分的邮票，则一张会增加80－60＝20（分），所以可以求出80分的邮票有多少张。

解：

（1）假设50张全是60分邮票，共值60×50＝3000（分）

（2）比实际少：3400－3000＝400（分）

（3）60分邮票换成80分邮票，每张增加：80－60＝20（分）

（4）80分邮票有：400÷20＝20（张）

（5）60分邮票有：50－20＝30（张）

答：80分邮票有20张，60分邮票有30张。

例4：东方阳光小学举行数学竞赛，共20道题。做对一道得5分，如果没做或做错一道要倒扣3分。小敏得了84分，她一共做对了多少道题？

分析：如果做错一道题，不但不得5分，还要倒扣3分出去，也就是说做错或没做一道题，要少得5＋3＝8（分）。假设小敏20道题全对，就能得到20×5＝100（分），但是实际上只得到了84分，也就是说少得了100－84＝16（分），而每错一道或没做一道题就要少得8分。说明小敏做错或没做的题有16÷8＝2（道），做对的题有20－2＝8（道）。

解：

（50×20－84）÷（5＋3）

＝（100－84）÷8

＝16÷8

＝2（道）……错

20－2＝18（道）……对

答：做对了18道。

例5：现有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共27只，共有腿180条，翅膀26对（蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿，两对翅膀；蝉6条腿，一对翅膀），求三种昆虫各有多少只？

分析：蜘蛛是8条腿，蜻蜓和蝉都是6条腿（暂时归为同一类，都是6条腿），先从腿数着手，求出蜘蛛的只数。假设三种动物都是6条腿，那么腿的总数就应该是27×6＝162（条），比题中给的条数少了180－162＝18（条），我们用一只蜘蛛代替掉其中一只，就会增加2条腿，因此可以求出蜘蛛的只数（180－162）÷（8－6）＝9（只）。最后剩下的27－9＝18（只）就是蜻蜓和蝉的只数。

假设这18只全部是蝉，那么翅膀总数为1×18＝18（对），但实际上翅膀多了26－18＝8（对），我们知道一只蜻蜓就会比蝉多出一对翅膀，所以可求出蜻蜓只数8÷（2-1）＝8（只），最后就能得到蝉的只数：18－8＝10（只）。

解：

（1）三种动物都按6条腿计算，应有腿的条数为：27×6＝162（条）

（2）蜘蛛的只数：（180－162）÷（8－6）＝9（只）

（3）蜻蜓和蝉共有的只数：27－9＝18（只）

（4）假设这18只全部是蝉，那么有翅膀：1×18＝18（对）

（5）蜻蜓的只数：（26－18）÷（2－1）＝8（只）

（6）蝉的只数：18－8＝10（只）

答：有蜘蛛9只，蜻蜓18只，蝉10只。