封面圖是郭靖黃蓉~
▍引子
我們先繼續來看小說中的情節，上一次我們說到，郭靖黃蓉二人誤打誤撞來到了瑛姑的小屋，看到她正在計算一道開平方的問題，我們繼續來看小說後面的內容：
這次是求三千四百零一萬二千二百二十四的立方根，她剛將算子排為商、實、方法、廉法、隅、下法六行，算到一個“三”，黃蓉輕輕道：“三百二十四。”那女子“哼”了一聲，哪裡肯信？布算良久，約一盞茶時分，方始算出，果然是三百二十四。
接下來瑛姑又計算了一道開立方的問題，那麼如何來開一個數的立方根呢？其實上一次我們所講的增乘開方法，不只能用來開平方根，還能用來開立方以及更高次方的根。今天我們就來介紹一下如何用增乘開方法開更高次的平方。
▍小說中的bug
書中所寫故事的時代背景是寫到成吉思汗去世為止，成吉思汗死於公元1227年，而關於賈憲的增乘開方法的提出時間，所能找到的最早的記載是楊輝的《詳解九章算法纂類》，該書寫於1261年。
也就是說，瑛姑所用的開平方的方法，如果按照時間關係上來看，所用的應該是時間更早的《九章算術》中的開平方的方法；但如果根據書中所寫的瑛姑把算籌擺成“商、實、法、借”四行的話，就應該用的是賈憲的增乘開方法了。
而瑛姑所用的開立方的方法，將算子擺為六行，又是《九章算術》的方法了，用增乘開方法的話只需要擺成五行就夠了。
增乘開方法是賈憲在《九章算術》中開方的方法的基礎上，對傳統方法進行改進，並推廣到了開更高次方的情況，因此，我們還是主要來介紹增乘開方法。
說了這麼多，今天的主要內容就正式開始啦。
▍先復個習
我們先來複習一下，之前所講的增乘開方法的五個步驟：
估算商；
-
用商乘借加到法上；
實減去商乘法；
再用商乘借加到法上；
法後移一位，借後移兩位。
只要不斷循環這五個步驟，直到實變為0，所得到的商就是我們的結果啦
開平方與開立方的方法是類似的，我們介紹完開立方的方法之後，再經過類比，推廣出開任意次方的方法。
▍舉個例子
接下來我們還是以小說中的這道題為例來計算，為了便於理解，我把每一步計算所變化的數框了起來~
先將被開方數放到實的位置上，並將1置於下法：
將下法的1每次向前移動兩格，共移動了三次，說明商應當是一個三位數：
接下來正式開始計算啦~
1）估算商的值為3（3的三次方為27，小於34）：
2）用商乘下法置於廉（3×1=3），再用商乘廉置於方（3×3=9）：
3）實減去商乘方（34-3×9=7）：
4）商乘下法加到廉（3×1+3=6），商乘廉加到方（9+3×6=27）：
在用商乘下法加到廉（3×1+6=9）：
5）將方、廉、下法一次向後退1、2、3格：
然後我們就可以開始下一個循環啦
1）估計商的十位為2：
2）商乘下法加到廉，商乘廉加到方：
3）實減去商乘方：
4）商乘下法加到廉，商乘廉加到方，商乘下法加到廉：
5）將方、廉、下法一次向後退1、2、3格：
第二個循環結束，開始第三遍啦~
1）估計商的個位為4：
2）商乘下法加到廉，商乘廉加到方：
3）實減去商乘方：
我們驚喜的發現，實變成了0，也就是說，我們所求的34,012,224的立方根就是324啦~
▍開立方的步驟
我們來總結一下，開立方其實也是五個步驟：
1.估算商；
2.商乘下法加到廉，商乘廉加到方；
3.實減去商乘方；
4.商乘下法加到廉，商乘廉加到方，商乘下法加到廉；
5.將方、廉、下法一次向後退1、2、3格。
和開平方的步驟一樣，接下來只要不斷地循環以上步驟，直到實為0，此時的商便是所求的根啦~
▍推廣到開任意次方的步驟
我們先把開平方和開立方的步驟放到一起來對比一下：
從這個表格中我們能夠非常容易的找到規律，從而總結出用增乘開方法開任意正整數次方的方法。
假設我們要求一個數的n次方（n為正整數），那麼我們共需要寫出n+2行，前兩行分別是商和實，其餘的n行我們用N1、N2、···、Nn來表示。
將被開方數放入實這一行，在Nn上的最後一格放上一個1，將Nn上的1向左移動，每次移動n-1格，在下一次移動便會超出實的時候停止，此時1移動的次數便是商的位數。
接下來，我們就可以開始進行五個步驟循環的計算啦~
1）估算商。估計出一個商的第一位數的值，設它為a1，a1的n次方應當小於1上面的實的值，而a1+1的n次方是大於它的。
2）依次從下到上填入數字，Nn中已經填入了1，接下來
Nn-1=a1×1
Nn-2=a1×Nn-1
……
N1=a1×N2
3）更新實。新的實=原實-N1×a1
4）更新從N1到Nn。
第1輪：
Nn-1=a1×1+Nn-1
Nn-2=a1×Nn-1+Nn-2
第2輪：
N2=a1×N3
如此不斷循環下去，一直重複到第n-2輪，只剩下一步，Nn-2=a1×Nn-1+Nn-2為止。
5）將從N1到Nn上的數依次向後移動1、2、3、...n個格。
接下來只要重複上述幾個步驟，直至實變為0為止。
如果是無法開出整數的情況的話，實便永遠除不盡，便可以不斷地重複上述步驟，得到後面無窮無盡的小數啦~
[1] 金庸. 射鵰英雄傳[M]. 北京: 生活·讀書·新知三聯書店, 1994.
[2] 梅榮照. 賈憲的增乘開方法——高次方程數值解的關鍵一步[J]. 自然科學史研究, 1989, (01): 1-8.
[3] 李兆華. 增乘開方法與賈憲三角形[J]. 中等數學, 1986, (1): 44-45.
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