對於傅里葉變換，很多同學對其中的一些概念模糊不清，比如，週期函數和非週期函數的傅里葉轉換有什麼不同，
核函數
這四個核函數更是讓人頭痛不已，到底什麼時候要負號，什麼時候不要負號，什麼時候有n,什麼時候沒有n。這篇文章就討論一下這個問題。
首先，要搞清楚上述問題，就必須搞清楚傅里葉變換的來龍去脈，下面是常用教科書裡面關於週期函數的傅里葉級數展開的證明過程。
我們先把這個證明的思路搞清楚：首先
也就是說，這裡證明的是週期函數的傅里葉級數展開；然後我們再看一下這個證明的思路：
它首先是假設任何一個週期函數都可以展開為正弦函數之和，然後再求出各個正弦函數的係數，係數求出的過程也很簡單，就是以正弦函數的週期
進行方程左右兩邊的積分，最後得出傅里葉級數的係數表達式。注意，是傅里葉級數，不是傅里葉變換。然後，上述結果可以寫成：
然後，是利用歐拉公式將這個表達式轉變成指數形式：
最後，f(t)可以合併寫成：
上述轉變過程很容易看懂，看懂以後，我們只要注意到：第一個表達式就是週期函數f(t)的指數傅里葉級數形式，其核函數里面有n,沒有負號，這個表達式表示的是週期函數f(t)從時域到頻域的級數展開過程；第二個表達式表示的是函數f(t)展開為傅里葉級數的係數的求法，其核函數里面有n,也有負號。
接下來，就需要把週期函數轉變成非週期函數，再求其傅里葉變換。這個轉變過程更簡單，就是假設
然後定義非週期函數的傅里葉變換
上述是定義，不用什麼證明，我們注意到，這個時候核函數里面沒有n,有負號，這是時域到頻域的正向變換過程。那麼對於非週期函數f(t),就有
這個時候核函數里面沒有n,沒有負號，這是頻域到時域的逆向變換過程。
最後，我們把週期和非週期函數的傅里葉過程放在一起，總結一下：
從上面的分析可以總結如下：
1：週期函數的傅里葉級數中，核函數里面都有n;而非週期函數裡面都沒有；
2：無論週期函數還是非週期函數，f(t)在方程左邊的，核函數都是正的;否則都是負的。
3：週期函數的Fn，求出的是f(t)的傅里葉級數的係數；而非週期函數求出的則是頻譜F(w)。
