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作者，Colm Mulcahy ，斯貝爾曼學院數學教授。
翻譯，Jacob，哆嗒數學網翻譯組成員。
著名的科學普及和數學普及作家馬丁·加德納(Martin Gardner , 1914-2010) 名下有101本非虛構類書籍，也有一些虛構類的。如果他還活著的話，在今年10月21日會度過101歲生日。在過去25年中，加德納為科學美國人上極具影響力的“數學遊戲”專欄提供了大量的數學問題。這些問題中的大部分題目衍生出了更多的問題，而不是問題的答案。這實際上是件好事。
時至今日，“數學遊戲”專欄以及它帶來的對數學娛樂重要性的認知仍在持續產生著影響，加德納的讀者範圍也涵蓋了幾代人。他的鐵桿“粉絲”們依然持續舉辦著兩年一度的邀請制的“加德納聚會”，而其他的任何人(任何地方)在每年十月都可以舉辦或參加叫做“頭腦慶典”的活動。更重要的是，因為不斷提出加德納難題的新解法和改進舊解法，人們不斷地超越自己，突破自己。
接下來，我們懷著輕鬆的心情，回顧一下加德納的關於二維平面上圖形“剖分”與“平鋪”的問題的突破歷程——這些曾讓大家激動不已的謎題突破歷程。值得一提的是，下面有一些結果還是最近才發現的，這讓人非常開心，由此證實了加德納的觀點——好玩的數學能真真正正產生的持續不斷的研究，更能成為滿足好奇心和創造新思想的跳板。
三角形和正方形
“剖分”問題就是把熟悉的圖形切開，形成若干個有趣的更小的碎片的問題，而“平鋪”問題則要處理與之相對的概念，用大量的某一種或幾種特定的小圖形來填滿一大片空間的問題。
這是加德納在他1960年2月專欄中提出的一個簡單的剖分問題：“給定一個鈍角三角形，是否可能將其切成若干個更小的銳角三角形？” 無疑地，最初的數種嘗試都失敗了，比如下圖所展示的(小三角形4不是銳角)
還有一道更難的，選自加德納1981年4月的專欄：“將一個正方形分割成互不充疊的銳角三角形，那麼小三角形的數量最少可以是多少塊？”他自己做出了一個令人驚訝的解答。另一個選自1989年的題目問道：“是否可能將一個邊長為整數的正方形三角形劃分，且劃出的三角形每條邊仍是正整數？” 這道至今沒被解決的題由Richard Guy所提出，他剛剛以一次飛躍阿西尼博因山山頂的直升機之旅慶祝完99歲的生日。正如Richard在本月的一份電子郵件中評論道，我們仍不知道是否可能在平面上的單位正方形中找到一個點，使得此點與正方形四個頂點的距離都是有理數。
在1958年11月，加德納提出一個問題，一個正方形是否能夠被切成若干個更小的正方形——這些小正方的邊長必須為互不相同的整數，而不是類似國際象棋棋盤樣子的那種排成方陣簡單的形式。從19世紀30年代開始，人們開始瞭解到這個問題與電網絡理論有關聯。加德納提供過的一個近似的答案—— 一個32×33的長方剖分成這樣的一些正方形 — 榮登《科學美國人》某月的雜誌的封面。
上面的尋找“正方形中的正方形”問題的真正的解答花了20年，其中的一個解是邊長為112單位的正方形，它按照要求被切成了21個正方形。加德納給出過一個有趣的基本論斷，來說明為什麼這些方式中沒有一種可以適用於三維情況—— 就是說一個正方體不能被拆開成為若干的不相等的正方體。自從40年前讀到這個論斷起，我就深陷其中。這暗示著，在更高維度下，這些方法也不會有用！
從現在起，我們把正方形的問題放在一邊，我們來討論平鋪問題吧。在1979年10月，加德納寫出了老友Golomb在1975年提出的挑戰問題：整個無限平面是否能被正方形鋪滿，而且這些正方形邊長還是形如(1,2,3,4....)的整數？
Golomb的挑戰問題很長時間沒被攻破，2008年，它才被Jum Henle 與 他的兒子Fred征服。Jim解釋說：“證明的關鍵在於一個引理 — “對任意給定L形區域都可以通過添加正方形來使其構成一個長方形。”下面的動畫展示了此引理對於28x28的正方形和17x17的正方形組成的L形區域成立的情況。(為了看起來方便，正方形都用3D的正方體來表示)
Henle繼續說道：“由這個引理開始，證明就很輕鬆了。因為一旦構成了長方形，你就可以用之前沒出現在拼圖中的最小的正方形，把它和長方形拼一起，形成一個新的L形區域(這個L形區域也能通過添加更多的正方形被擴大成另一個長方形，而且此做法可以繼續下去)。” 因此，每個得整數在拼接過程中都能被不遺漏的選擇到，而且最後這個平面(立方體的上表面)將被完全鋪滿。
在他們論文的結尾，作者對滿足相同限制的用三角形鋪滿平面的可行性進行了討論。討論中提及另一個至今待定的問題：“整個平面是否能被所有的有理等邊三角形所鋪滿，而且滿足所有三角形相鄰的三角形的數量都是有限多個？”
這裡說一下另外一個比較扯的趣味智力題，加德納展示了這個將一個由等邊三角形構成的梯形(其實是一個triamond，漢語中沒找到對應的詞彙)切成四塊全等的凸塊的剖分方法，並尋求一種用五塊全等的凸塊分割一個正方形的方法。
事後看來，答案是相當明顯的——我們有提過加德納也是一個頂級魔術師，也因此是位誤導大師麼？就僅在一個月之前，一份“不存在其他解”的證明被公佈出來了。(在由Lipin Yuan, Carol Zamfirescu 和 Tudor Zamfirescu所著的“正方形切成五個全等塊的分割”的預稿中)
永遠令人驚訝的五邊形
將三角形和四邊形放在腦後，我們來看看五邊形。正五邊形無法僅靠自身鋪滿整個平面，而像等腰三角形，正方形和正六邊形卻能完美的鋪滿整個平面，不規則的五邊形卻可以鋪滿平面。下面的故事的可能都可以在 Wolfram五邊形平鋪論證計劃網頁這個互動項目中看到。這個故事在100年前開始，那時Karl Rheinhardt發現了5中不同五邊形平鋪，這兒有其中的兩種。
50年之後，在1968年，Richard Kershner發現另外三種形式，並隨著Martin在他1975年7月的專欄中的報道，Richard E.James 又發現了一種形式。加德納及時的在接著的專欄裡報道了這件事。而已到中年的聖迭戈的家庭主婦Marjorie Rice在她兒子的一本雜誌中讀到了這份報告。儘管沒受過數學訓練，她開始著手探索、組織自己的思緒並開創自己特有的記號來記錄自己研究的過程。在1977年之前，通過發現四種全新的五邊形平鋪平面方法，她令數學界颳起了一陣風暴。這四種方式早先被其他所有人都忽略了，其中的兩種展示如下：
她的一件在1995年發現的成果被數學家Doris Schattschneider採納，用於華盛頓的美國數學協會本部的瓷磚鋪設。
在1985年，Rolf Stein發現一種新的五邊形平鋪，這將總數目提升到14種。之後又過去了30年，Casey Mann，Jennifer McLoud 和 David Von Derau，這三位都來自於華盛頓大學博塞爾分校的學者，在2015年7月宣佈了第15種方法。如下是它的一種體現形式：
下面是所有的15種平面平鋪，為了方便比較，像博塞爾團隊提供的一樣，放在一個新的面板中：
那麼還有更多這樣鋪滿整個平面五邊形平鋪嗎？如果還有，一共有多少種這樣的平鋪呢。博塞爾團隊中的印第安人 McLoud（她是她家裡第一個拿到大學文憑的人）說：“現在還不知道凸五邊形平鋪方法數量的上界。”就是說，可能還有幾十種，或者有無限種。也有可能就這麼多，不再有了。
蓋棺了結
仔細看看博塞爾團隊五邊形是很有建設性的，這個五邊形就像一個不規則棺材。也許McLoud和他的同事真的靠著發現最後一種五邊形平鋪的類型給它釘上了釘子。
接下來我們來描述得到這個圖形的過程：這個形狀可被通過折彎一條的5個單位長度的稻草杆子CDEaAB來獲得，(這裡a代表著圖像中線段EA的中點；它也代表著EA的長度)，這之後會如下調整：
在右側，將AB逆時針旋轉120°，使得角A成60°。在左側，將CD順時針扭成直角，之後保持角D90°的同時，將DE也順時針旋轉30°。EaA保持直線，並且為2個單位長度長。最後，連接將D與B的終點相連：可以看出CB長度為sqrt(2)/(sqrt(3)-1)(sqrt表示開平方)，約為1.93個單位長，同時角C和B各自恰好為105°和135°。這個五邊形可以被拆解成一個等腰三角形、等邊三角形以及一個有著“良好”角度的四邊形(分別是三角形DCE、三角形BAa、四邊形BaEC)。
一個小孩拿著的稻草杆子瞎搗鼓著把杆子折彎，只要拉開合適的位置，都能輕鬆地拼出這個五邊形。也許，歷史的長河中，真有過幾次這樣的事。如果真有這回事，沒有孩子曾意識到他們的發現，他們只會在媽媽叫他吃飯的時候別無他想地扔掉那根稻草杆。那麼，又有誰能斷定沒有某個小孩把稻草杆折成另一種能平鋪無限平面的新型五邊形呢？他的確是一種孩子能玩的，而且能玩出深入結果的東西（想想前面的主婦）。
加德納去世後最新出版的這本書無疑即會是老少皆宜的，《註釋版愛麗絲》（150週年豪華版，諾頓出版社）。它是將這個暢銷書系列的最後一次更新，包含了加德納在5年去世為止留下的最新的註釋內容。
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