【2018河北中考數學19題】求會標的外輪廓周長（壓軸題）
【中考真題】
（2018•河北•19題•6分）如圖1，作∠BPC平分線的反向延長線PA，現要分別以∠APB，∠APC，∠BPC為內角作正多邊形，且邊長均為1，將作出的三個正多邊形填充不同花紋後成為一個圖案．
圖2中的圖案外輪廓周長是 ；
在所有符合要求的圖案中選一個外輪廓周長最大的定為會標，則會標的外輪廓周長是 ．
【思路探究】
根據題意，可以藉助正多邊形的外角和為360°，利用代數的方法，找出三個相鄰的正多邊形的內角、外角和邊數之間的關係，從而確定何時外輪廓周長最大．
本題也可以在透徹理解題意的基礎上，藉助幾何直觀和推理思考，發現儘量讓中間的小正多邊形的內角最小，則左右兩側的多邊形的內角就越大，其邊數也就越多，從而確定最大的外輪廓周長
【解答過程】
解：第一個空：
根據多邊形邊長均為1，可以逐個數出圖2的圖案外輪廓周長是14．
但是還應找到一般方法，這樣有利於第二個問題的解決．
觀察圖形，圖2中有三個正多邊形，
由於每兩個相鄰的正多邊形都有一條公共邊，
因此把每個正多邊形的周長減去相鄰的邊長，就得到外輪廓周長，
所以圖2可以這樣來計算：（4﹣2）+（8﹣2）+（8﹣2）=2+6+6=14．
第二個空：（方法一：藉助代數方法）
如圖1，設∠BPC=2x，則中間正多邊形的外角為180°﹣2x，
∴2x的值只能為60°，90°，120°和144°，
顯然，當x越小時，周長越大，
∴當x=30時，外輪廓周長最大，此時圖案定為會標，
第二個空：（方法二：藉助幾何直觀）
在透徹理解本題閱讀材料的基礎上，根據圖1，直觀思考和想象圖形角度和邊數的變化，可以發現當中間正多邊形的內角∠BPC越小，左右兩側的正多邊的內角∠APB和∠APC就越大，則相應正多邊形的邊數就越大，那麼該圖標的外輪廓周長也就越大．
顯然，∠BPC最小是60°，為正三角形，此時左右兩側正多邊的外角為30°，此時正多邊形的邊數是360÷30=12，
故該圖標的外輪廓周長即為（3﹣2）+（12﹣2）+（12﹣2）=1+10+10=21．
故第二個空答案是21．
【考法解讀】
本題以材料閱讀理解和探究問題的呈現方式，考查了正多邊形的邊數與內角、外角的關係，明確正多邊形的各內角相等，運用各外角相等，且外角和為360°是解題的關鍵．本題更是以多邊形為載體，考查了同學們藉助幾何直觀和幾何推理進行思考和解決問題的能力，同時也需要具有相當的數學閱讀能力作為解決本題的前提．
近年中考試題中多次考查到正多邊形的有關知識，屬於較高頻次的考點，在學習和複習中需要牢固掌握正多邊形的有關內角、外角和邊數等有關知識，同時往往需要藉助幾何圖形的直觀性來解決問題，也滲透了數形結合的數學思想方法。
【知識方法】
本題用到的主要知識是正多邊形的有關概念，正多邊形與圓有密切的聯繫：
（1）正多邊形：
各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形．
（2）正多邊形與圓的關係：
把一個圓分成n（n≥3）等份，依次連接各分點所得的多邊形是這個圓的內接正n邊形，這個圓叫做這個正多邊形的外接圓．
（3）正多邊形的有關概念:
①中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心．
②正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．
③中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角．
④邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．
（4）多邊形的內角和、外角和
n邊形的內角和為180°×（n﹣2），n邊形的外角和是360°．
【變式訓練】
〖習題1〗邊長為4的正方形ABCD的兩條對角線交於點O，有一邊長大小不定的正六邊形EFGHIJ繞點O可任意轉動，在旋轉過程中，這個正六邊形始終在正方形ABCD內（包括正方形的邊），當正六邊形EFGHIJ的邊長最大，且EJ∥AD時，tan∠DAE= ．
作者：精準備考初中數學，中學高級教師，教育領域創作者。從教中學數學20餘年，重點研究領域：中考數學命題與複習備考、真題詳解、圈題預測，初中數學教學。致力於分享教學經驗和研究成果，助力考生衝刺高分！
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