這是一篇關於數學史的文章。
在眾多的數學猜想中，再沒有第二個猜想會比費馬大定理的歷史更加曲折、傳奇。
一部費馬大定理的歷史，即是一部數學史。
從1637年由費馬以一種近乎戲謔的方式提出，到1995年由英國數學家安德魯・懷爾斯徹底解決，在這長達358年的歷史中，費馬大定理吸引了各個時代最頂尖的數學家：
歐拉、高斯、庫默爾、吉爾曼、狄利克雷、勒讓德、柯西、法爾廷斯、布朗、希爾伯特……
歐拉
甚至，它曾以自己的魅力拯救了生命：一個為情所困、決意自殺的人，因研究它竟忘記了自殺。
費馬大定理不僅有傳奇般的歷史，還對數學的發展作出了巨大貢獻。
為證明這個猜想，人類最聰明的大腦們創造了一系列新方法、新工具，極大地推動了數論這一最為古老的數學分支的發展。
希爾伯特戲稱它為“這是一隻下金蛋的雞”。
這到底是一段怎樣的歷史呢，費馬大定理是怎樣被提出的呢？
懷爾斯的發現
1963年的某一天，10歲的小懷爾斯放學回家，當時已經沉迷於數學的他，決定到小鎮彌爾頓路上的圖書館去學習。
安德魯·懷爾斯
雖然這裡的藏書與大學圖書館沒法比，但這次，小懷爾斯還是找到了一本令他著迷、將改變他後半生的書。
這本書叫做《大問題》（The Last Problem），作者是美國數學家、科普作家埃裡克・坦普爾・貝爾。
在這本書裡，作者介紹了廣為人知的畢達哥拉斯定理（勾股定理），即：
在任一直角三角形中，其斜邊的平方等於兩直角邊的平方的和。
雖然非常簡單易懂，但這個定理定義了我們這個宇宙的三維空間的結構。
當時的人們也意識到了這一點，他們用一百頭公牛作為祭品來表示對神的感謝——感謝神讓他們發現了這樣和諧的定理。
即使現在來看，這個定理也非常之重要。這倒不是表現在定理的數學內容本身，而是數學證明的思想。
不同於以往的數學，畢達哥拉斯學派是利用邏輯證明，而非經驗直覺得到了這個精確的定理。
這是人類第一個真正的、經過數學證明的數學定理。
畢達哥拉斯
這種邏輯證明的方法給人們提供了認識世界的一種有效方法：使用數學證明的方法可以證明一個結論的普遍適用性，而無需窮舉所有的可能性，並且一旦被證明，結論便是絕對正確的。
然而，不久之後，發現這個定理的畢達哥拉斯兄弟會便遭到了巨大的災禍：
一個曾被兄弟會拒絕的人，出於報復之心，放火燒了兄弟會創辦的學校，還血洗了兄弟會，許多畢達哥拉斯的信徒被殺。
兄弟會的倖存者流落到了其他國家，創建了新的學校。
在這種被迫的遷徙過程中，他們將畢達哥拉斯的數學理念傳播到了更廣的地域。
並且，他們對畢達哥拉斯定理的認識也向前推進了一步：證明了有無窮多個畢達哥拉斯三元組（滿足x^2+y^2=z^2的(x,y,z)三元組）。
《大問題》一書中提到的畢達哥拉斯定理和畢達哥拉斯三元組的無限性，引起了小懷爾斯的注意。
《大問題》（《The Last Problem》）
表面上看起來，人們對於畢達哥拉斯三元組的瞭解已經十分充分，甚至給出了三元組的構造公式。
但繼續往下讀後，小懷爾斯發現，畢達哥拉斯定理遠沒有看上去的那樣簡單。
貝爾在書中寫下了另一個方程——畢達哥拉斯方程的姊妹方程：
這個方程僅僅將畢達哥拉斯方程的平方改為了立方。
畢達哥拉斯三元組有無窮多個，即意味著畢達哥拉斯方程有無窮多個解。
然而，對於三次方的姊妹方程，多少代的數學家試圖尋找它的整數解都沒有成功 。
更進一步，對於任意自然數n>=3的方程：
似乎都沒有整數解。
事實上，17世紀時，一位數學家就宣稱找不到整數解是因為它根本就沒有整數解。
僅僅將2改為更大的數，方程整數解的數目就從無窮多個驟減為0個，尋找方程整數解的工作竟變得異常困難。
小懷爾斯立馬被這樣奇怪的結論吸引，他沿著畢達哥拉斯的思路繼續往下想：
這個看上去正確的結論是真的嗎？能被數學證明嗎？
他急切地向後翻閱著書，希望在書中尋找到答案，然而，翻到最後也沒有找到對它的證明。
只是找到了這樣一段故事。
一個數學家在一本書的空白處，先是寫下了他對於這個結論的表述，然後在旁邊寫道：“我有一個對這個命題十分美妙的證明，但這裡空白太小，寫不下。”
這個數學家叫費馬，這本書叫《算術》，而那個奇怪的結論便是——費馬大定理。
2011年8月17日，谷歌紀念費馬誕辰410週年
而費馬的這段文字困惑了一代又一代數學家，耗盡了人類眾多最傑出大腦的精力，直到在他寫下這段批註後的358年，才由懷爾斯完成了證明。
“業餘”數學家
皮埃爾・德・費馬1601年出生於法國西南部的博蒙-德羅馬涅鎮。
費馬
費馬的雙親都來自於上層社會，父親是當地一位富有的皮革商，母親則出身貴族，這使費馬從小便生活在非常優渥的環境中。
長大後，費馬先後在奧爾良大學和圖盧茲大學學習法律，在費馬上學時，父親便為他買好了官職。
畢業後，迫於家庭的壓力，費馬成為了一名文職官員，被任命為議會接待室的一名顧問（司法職務）。
17世紀的法國政治充滿陰謀和詭計，為避開政治上的糾紛，費馬遠離議會的混戰，盡力不引起人們的注意，並將自己剩餘的精力全部獻給了數學。
並且當時的法國不鼓勵法官們參加社交活動，這使費馬也有時間和精力專注於自己的業餘愛好數學上。
法國先賢祠
他在數學的許多領域都取得了巨大的成就，被譽為“業餘數學家之王”。
但事實上，他的貢獻和才華完全不輸給任何一個專業數學家。
以至於朱利安·庫利奇寫《業餘大數學家的數學》一書時，沒有將費馬列入，因為在他看來“他那麼傑出，他應該算做專業數學家”。
費馬和帕斯卡先是合作創立了概率論，又與笛卡爾共同建立了解析幾何，還獨自發現了求切線、極值的方法。
帕斯卡
不僅如此，費馬對於光學也有研究，提出了關於光的最短傳播路徑的費馬原理。這個定理在哲學上也意義重大。
當然，他最重要的貢獻還是在數學最古老的分支——數論上。
兩位創始人
與費馬同時代的數學家還有笛卡爾，兩人被公認為解析幾何的創始人。
不過，費馬研究解析幾何的方法與笛卡爾大相徑庭。
笛卡爾
日本數學會出版的《巖波數學辭典》是這樣評價費馬的：
他與笛卡爾不同，與其說他批判希臘數學，倒不如說他以復興為主要目的，因此他的學說古典色彩濃厚。
費馬研究解析幾何的方法，主要是繼承了古希臘人的思想。
雖然他比較全面系統地敘述瞭解析幾何的基本原理，但主要是完善了古希臘數學家阿波羅尼斯的理論。
（阿波羅尼斯的代表作是《圓錐曲線論》）
阿波羅尼斯
而笛卡爾則受到他自己“懷疑一切”的哲學思想的影響，從批判古希臘的傳統出發，在革新中建立了解析幾何。
從歷史發展的角度看，笛卡爾更具突破性，因此，後人多知道笛卡爾對於解析幾何的貢獻，但卻不瞭解費馬的工作。
光學？微積分？
費馬還是微積分的先驅。
1934年，路易斯·特倫查德·穆爾發現了牛頓寫的一段註記，他在“費馬先生的畫切線的方法”的基礎上發展了微積分。
所以在求切線這個微積分的關鍵問題上，牛頓並非獨創，而是受到了費馬的啟發。
牛頓
牛頓是從力學的角度發現了微積分，萊布尼茲是在數學的層面，那費馬呢？
在這裡，費馬仍然受到古希臘傳統的影響，他研究切線的出發點與古希臘的光學研究有關。
古希臘人對於光學很有研究，費馬繼承了這個傳統，他非常喜歡製造透鏡，而這促使費馬探求光曲線的切線。
1629年，他就發現了求切線的方法，但直到1637年才將方法發表在自己的手稿《求最大值與最小值的方法》中。
現在微積分中的“費馬引理”便是為了紀念費馬的這個貢獻。
費馬引理
費馬在光學領域的研究也承自古希臘人。
他系統研究了歐幾里得等人關於光的直線傳播、反射定律的工作，於1661年提出了費馬原理，也稱最小作用原理。
這個原理統一了光的直線傳播、折射定律、反射定律，並揭示出這三者的物理和哲學本質是“大自然總是以最短捷的可能途徑行動”，即光線的行進總是取最短的路徑。
光的反射
這一原理最現代的表述是：
過兩個定點的光總走光程的一階變分為零的路徑。
之後，費馬使用這一原理，結合微積分的知識，導出了光的折射定律。
這裡還有個小插曲：
費馬是在1637年於笛卡爾的《折光》一書中最早接觸到了光的折射定律。
光的折射
一開始他對這個定律和其證明方法都持懷疑態度，並與笛卡爾展開了一場長達10年之久的論戰。
但在使用自己的最小作用原理也導出了光的折射定律後，他不但消除了對笛卡爾的懷疑，還更加確信了自己的最小作用原理的正確性。
古老的數論
但費馬最鍾情、也是成就最大的領域，還是數學最古老的分支——數論。
費馬在數論領域的研究，最能反映他“言必稱希臘”的“復古”傾向。
同時代的學者對於數論這一源自古希臘的古老領域，研究甚少。
他也曾試圖拉攏一起發明概率論的帕斯卡，與他一起研究數論。
但帕斯卡對數論始終沒有什麼興趣。
直到將近一百年後，另一個偉大的數學家也抱怨，在數論的領域自己實在太孤單了。
費馬研究數論的指導書籍，是古希臘時期的一本教科書《算術》。
它的作者丟番圖被譽為“古希臘數學傳統的最後一位衛士”，他將古希臘的數論成就，完整地記錄到了其著作《算術》中。
丟番圖
可以說《算術》之於數論，就如同《幾何原本》之於幾何。
可惜的是，我們對這位數學家的瞭解遠不如對歐幾里得的瞭解多。
我們只知道丟番圖最擅長解決的問題是：解為整數的不定方程，如今，這一類方程被稱為丟番圖方程。
而《算術》的命運也如同其作者丟番圖本人，組成它的13卷書中，只有6卷幸運地逃出了中世紀的黑暗和混亂。
但這剩餘的6卷卻極大地激勵了包括費馬在內的文藝復興前後的數學家們，使這批數學家重新“發現”了古老的數學技巧，幾乎瀕臨覆滅的數學迅速地恢復了生機。
1621年，費馬在巴黎買到了經八歇校訂的《算術》的法文譯本。
費馬使用的1621年版《算術》
費馬在閱讀《算術》時，喜歡一邊讀一邊在書上勾勾畫畫，做些點評。
1607年的某一天，他習慣性地在這部書的第二卷第八個命題——“將一個平方數分為兩個平方數”旁寫道：
相反，要將一個立方數分為兩個立方數，一個四次冪分為兩個四次冪，一般地將一個高於二次的冪分為兩個同次的冪，都是不可能的。
然後，他繼續寫道：
我有一個對這個命題十分美妙的證明，但這裡空白太小，寫不下。
（原文：J' ai trouvé une merveilleuse démonstration de cette proposition, mais la marge est trop étroite pour la contenir.）
著名的費馬大定理便以這種近乎戲謔的方式提出了。
除此之外，費馬還發現了初等數論四大基本定理之一的“費馬小定理”。
愛捉弄人的費馬
我國古代的孔子是“述而不作”，而費馬是“議而不作”，上面提到，費馬喜歡在書上勾勾畫畫，做點評。
後來的人們瞭解費馬的研究，幾乎都是從他的手稿上，而不是公開的文章。
費馬寫於1660年的手稿
一方面，這與費馬本人內向的性格有關，他不擅長推銷自己。
另一方面，也與當時的大環境有關。
在費馬生活的年代，數學還只是由少數人掌握的知識。
不同於今天，這些人一般不會公佈自己的發現，而是將之作為秘密，作為與同行較量時自己的秘密武器，以保持自己有能力解決某類特殊問題的獨一無二的聲譽。
這頗似今天的商業秘密。
費馬更實在的動機是：不公開發表使他不需要全面完善自己的方法，從而能迅速轉戰於數學、物理的各個領域。
經常與費馬通信的馬林·梅森，提出了梅森素數
他只需要頻頻拋出結果，而不用給出非常完美的證明。
這樣還可以避免因來自吹毛求疵者的一些細微質疑而分心。
這也就是費馬為何只在一本書毫不起眼的註腳處寫下一個偉大的發現而又不給出證明的原因。
他在與少數人的通信中，經常只說“我證明了這，我證明了那”，但從來不會給出證明過程，這對與之通信者來說，既是挑逗，也是挑戰。
因此他惹惱了當時的不少數學家，笛卡爾稱其為“吹牛者”，英國的數學家約翰·沃利斯叫他“那個該詛咒的法國佬”。
約翰·沃利斯
給同行造成的這種困擾，也給他帶來了巨大的滿足感。
公諸於世
1665年元旦一過，費馬開始感到身體不適，1月10日便辭去了官職，僅3天后便去世了。
由於費馬生前與同行通信較少，就算與之通信者如上文所說也往往對他沒有什麼好感。
所以在他去世後，包括費馬大定理在內的他作出的各種發現有永遠遺失的危險。
幸運的是，費馬的長子塞繆爾意識到了父親業餘研究成果的重要性。
他花了5年的時間，整理了父親的註記和信件，並將費馬批註過的《算術》出版了。
1670年，他在圖盧茲出版了《附有費馬的評註的丟番圖的算術》，這本書除了原本的6卷本《算術》還包括了費馬所做的48個評註。
其中的第二個評註就是後來的費馬大定理。
1670年塞繆爾出版的刊有費馬批註的《算術》
這本評註的《算術》出版後，人們才意識到，費馬與同行通信時所“炫耀”的成果只是他所有發現的很小的一部分。
而也正是這本書的出版，給後世的數學家留下了十足的“噩夢”。
費馬雖然在書中聲稱他證明了一個又一個的命題，但都沒有給出證明。
因此，後世的數學家得到這本書後，需要尋找費馬的一個又一個“失落的證明”。
然而，在數學界發現真正的證明前，這些命題只能稱為猜想，因此，費馬也成為了數學史上提出猜想最多的數學家 。
這一個個的猜想折磨了後世一批又一批的數學家。
可能費馬並不會想到，他只給結論不給證明的做法以及他隨手在書邊的塗畫，不僅困擾了當時的數學家，也極大地困擾了後人。
費馬雕像
在經過了長達3個世紀的漫長時光後，費馬的評註一個個都被解決了，唯獨第二個評註始終沒有很大進展，因此它也被稱為“
費馬最終猜想”。參考資料：
- 佩捷, 王忠玉, 歐陽維誠編著：《從費馬到懷爾斯:費馬大定理的歷史:the history of Fermat's last theorem》
- 西蒙.辛格著：《費馬大定理:一個困惑了世間智者358年的謎》
- Harold M. Edwards著：《Fermat's last theorem:a genetic introduction to algebraic number theory:代數數論的原始導引.影印版》
- 維基百科英文版Pierre de Fermat詞條
- 維基百科英文版Fermat's Last Theorem詞條
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