有關排列組合的常用解題技巧
1．相鄰問題並組法
題目中規定相鄰的幾個元素併為一個組(當作一個元素)參與排列．
【例1】A、B、C、D、E五人並排站成一排，如果A、B必須相鄰且B在A的右邊，那麼不同的排法種數有[ ]
A．60種 B．48種 C．36種 D．24種
分析 把A、B視為一人，且B固定在A的右邊，則本題相當於4
2．相離問題插空法
元素相離(即不相鄰)問題，可先把無位置要求的幾個元素全排列，再把規定相離的幾個元素插入上述幾個元素間的空位和兩端．
【例2】七個人並排站成一行，如果甲乙兩個必須不相鄰，那麼不同排法的種數是[ ]
A．1440B．3600
C．4820D．4800
3．定序問題縮倍法
在排列問題中限制某幾個元素必須保持一定順序，可用縮小倍數的方法．
【例3】A、B、C、D、E五個人並排站成一排，如果 B必須站A的右邊(A、B可不相鄰)，那麼不同的排法種數有[ ]
A．24種B．60種
C．90種D．120種
分析 B在A右邊與B在A左邊排法數相同，所以題設的排法只是
4．標號排位問題分步法
把元素排到指定號碼的位置上，可先把某個元素按規定排入，第二步再排另一個元素，如此繼續下去，依次即可完成．
【例4】將數字1，2，3，4填入標號為1，2，3，4的四個方格里，每格填一個數，則每個方格的標號與所填數字均不相同的填法有[ ]
A．6種B．9種
C．11種D．23種
分析 先把1填入方格，符合條件的有3種方法，第二步把被填入方格的對應數字填入其它三個方格，又有三種方法；第三步填餘下的兩個數字，只有一種填法，共有3×3×1＝9種填法，故選B．
5．有序分配問題逐分法
有序分配問題是指把元素按要求分成若干組，可用逐步下量分組法．
【例5】有甲、乙、丙三項任務，甲需2人承擔，乙丙各需1人承擔，從10人中選出4人承擔這三項任務，不同的選法總數有[ ]
A．1260種B．2025種
C．2520種D．5040種
分析 先從10人中選出2個承擔甲項任務，再從剩下8箇中選1人承擔乙項任務，第三步從另外7人中選1個承擔兩項任務，不同的選
6．多元問題分類法
元素多，取出的情況也有多種，可按結果要求，分成不相容的幾類情況分別計算，最後總計．
【例6】由數字 0，1，2，3，4，5組成且沒有重複數字的六位數，其中個位數字小於十位數字的共有[ ]
A．210個B．300個
C．464個D．600個
分析 按題意，個位數字只可能是0，1，2，3，4共5種情況，
【例7】從1，2，3，…100這100個數中，任取兩個數，使它們的乘積能被7整除，這兩個數的取法(不計順序)共有多少種？
分析 被取的兩個數中至少有一個能被7整除時，它們的乘積就能被7整除，將這100個數組成的集合視為全集Ⅰ，能被7整除的數的集合記作A，則A＝｛7，14，…98｝共有14個元素，不能被7整除
【例8】從1，2，…100這100個數中，任取兩個數，使其和能被4整除的取法(不計順序)有多少？
分析 將Ⅰ＝｛1，2，…，100｝分成四個不相交的子集，能被4整除的數集A＝｛4，8，…， 100｝；被4除餘1的數集B＝｛1，5，…，97｝；被4除餘2的數集為C＝｛2，6，…98｝；被4除餘3的數集為D＝｛3，7，…99｝，易見這四個集合，每一個都含25個元素；從A中任取兩個數符合要求；從B、D中各取一個數的取法也符合要求；從C中任取兩個數的取法同樣符合要求；此外其它取法都
7．交叉問題集合法
某些排列組合問題幾部分之間有交集，可用集合中求元素個數公式n(A∪B)＝n(A)＋n(B)－n(A∩B)
【例 9】從6名運動員中選出4個參加4×100m接力賽，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少種不同參賽方法？
分析 設全集Ⅰ＝｛6人中任取4人參賽的排列｝，A＝｛甲第一棒的排列｝，B＝｛乙跑第四棒的排列｝，根據求集合元素個數的公式得參賽方法共有：
8．定位問題優先法
某個(或幾個)元素要排在指定位置，可先排這個(幾個)元素，再排其他元素．
【例10】1名老師和4名獲獎同學排成一排照像留念，若老師不在兩端，則有不同的排法有________種．
9．多排問題單排法
把元素排成幾排的問題，可歸結為一排考慮，再分段處理．
【例11】6個不同的元素排成前後兩排，每排3個元素，那麼不同的排法種數是[ ]
A．36B．120
C．720D．1440．
分析 前後兩排可看成一排的兩段，因此本題可視為6個不同元素
【例12】8個不同的元素排成前後兩排，每排4個元素，其中某2個元素要排在前排，某 1個元素要排在後排，有多少種排法？(高中代數甲種本第三冊P82，23②)．
10．"至少"問題間接法
關於"至少"類型組合問題，用間接法較方便．
【例13】從4臺甲型和5臺乙型電視機中任取出3臺，其中至少要甲型和乙型電視機各一臺，則不同取法共有[ ]
A．140種B．80種
C．70種D．35種
分析 逆向思考，至少各一臺的反面就是分別只取一種型號，不取
11．選排問題先取後排法
從幾類元素中取出符合題意的幾個元素，再安排到一定位置上，可用先取後排法．
【例14】四個不同的球放入編號為1，2，3，4的四個盒中，則恰有一個空盒的放法共有________種
【例15】9名乒乓球運動員，其中男5名，女4名，現在要進行混合雙打訓練，有多少種不同分組法？
12．部分合條件問題排除法
在選取總數中，只有一部分合條件，可從總數中減去不合條件數，即為所求．
【例16】以一個正方體頂點為頂點的四面體共有[ ]
A．70個B．64個
C．58個D．52個
面體，但6個表面和6個對角面的四個頂點共面都不能構成四面體，所
【例17】正六邊形中心和頂點共7個點，以其中3個點為頂點的三角形共有________個．
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