二叉樹期權定價模型的假設
與任何估值模型一樣，都需要假設。二叉樹期權定價模型建立在以下假設基礎之上：
①市場投資沒有交易成本；
②投資者都是價格的接收者；
③允許完全使用賣空所得款項；
④允許以無風險利率借入或貸出款項；
⑤未來股票的價格將是兩種可能中的一個。
二叉樹期權定價模型的推導
二叉樹模型的推導始於建立一個投資組合：
①一定數量的股票多頭頭寸；
②該股票的看漲期權的空頭頭寸。
股票的數量要使頭寸足以抵禦資產價格在到期日的被動風險，即該組合能實現完全套期保值，產生無風險利率。
設：
S₀=股票現行價格
U=股價上行乘數
D=股價下行乘數
R=無風險利率
C₀=看漲期權現行價格
Cᴜ=股價上行時期權的到期日價值
Cᴅ=股價下行時期權的到期日價值
X=看漲期權執行價格
H=套期保值比率
推導過程如下：
初始投資=股票投資-期權收入=HS₀-C₀
投資到期日終值=（H×S₀-C₀）×（1+R)
由於無論價格上升還是下降，該投資組合的收入（價值）都一樣，我們採用價格上升後的收入，即股票出售收入減去期權買方執行期權的支出。
在股票不派發紅利的情況下，投資組合到期日價值=U×H×S₀-Cᴜ
令到期日投資終值等於投資組合到期日價值：
（1+R)×（H×S₀-C₀）= U×H×S₀-Cᴜ
C₀=H×S₀-(U×H×S₀-Cᴜ)÷（1+R)
由於套期保值比率H為：
H=(Cᴜ-Cᴅ)÷[(U-D)×S₀]
將其代入上述化簡後的等式，並再次化簡得：
C₀=[(1+R-D)÷(U-D)]×[Cᴜ÷(1+R)] + [(U-1-R)÷(U-D)]×[Cᴅ÷(1+R)]
如果根據公式直接計算上一篇套期保值例子的期權價格：
C₀= [(1+2%-0.75)÷(1.3333-0.75)]×[14.58÷(1+2%)] + [(1.3333-1-2%)÷(1.3333-0.75)]×[0÷(1+2%)]
=（0.27÷0.5833）×（14.58÷1.02）
= 6.62（元）
我們利用上一篇套期保值例子的數據回顧一下公式的推導思路：
最初，投資於0.5股股票，需要投資25元；收取6.62元的期權價格；尚需借入18.38元資金。
半年後......
如果股價漲到66.66元
投資人0.5股股票收入33.33元；借款本息為18.75元（18.38×1.02），看漲期權持有人會執行期權。期權出售人補足價差14.58元（66.66-52.08），投資人的淨損益為零。
如果股價下降到37.50元
投資人0.5股股票收入18.75元；支付借款本息18.75元（18.38×1.02），看漲期權持有人不會執行期權，期權出售人沒有損失，投資人的淨損益為零。
因此，該看漲期權的公平價值就是6.62元。
題外話，Merry Christmas！
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