二叉树期权定价模型的假设
与任何估值模型一样，都需要假设。二叉树期权定价模型建立在以下假设基础之上：
①市场投资没有交易成本；
②投资者都是价格的接收者；
③允许完全使用卖空所得款项；
④允许以无风险利率借入或贷出款项；
⑤未来股票的价格将是两种可能中的一个。
二叉树期权定价模型的推导
二叉树模型的推导始于建立一个投资组合：
①一定数量的股票多头头寸；
②该股票的看涨期权的空头头寸。
股票的数量要使头寸足以抵御资产价格在到期日的被动风险，即该组合能实现完全套期保值，产生无风险利率。
设：
S₀=股票现行价格
U=股价上行乘数
D=股价下行乘数
R=无风险利率
C₀=看涨期权现行价格
Cᴜ=股价上行时期权的到期日价值
Cᴅ=股价下行时期权的到期日价值
X=看涨期权执行价格
H=套期保值比率
推导过程如下：
初始投资=股票投资-期权收入=HS₀-C₀
投资到期日终值=（H×S₀-C₀）×（1+R)
由于无论价格上升还是下降，该投资组合的收入（价值）都一样，我们采用价格上升后的收入，即股票出售收入减去期权买方执行期权的支出。
在股票不派发红利的情况下，投资组合到期日价值=U×H×S₀-Cᴜ
令到期日投资终值等于投资组合到期日价值：
（1+R)×（H×S₀-C₀）= U×H×S₀-Cᴜ
C₀=H×S₀-(U×H×S₀-Cᴜ)÷（1+R)
由于套期保值比率H为：
H=(Cᴜ-Cᴅ)÷[(U-D)×S₀]
将其代入上述化简后的等式，并再次化简得：
C₀=[(1+R-D)÷(U-D)]×[Cᴜ÷(1+R)] + [(U-1-R)÷(U-D)]×[Cᴅ÷(1+R)]
如果根据公式直接计算上一篇套期保值例子的期权价格：
C₀= [(1+2%-0.75)÷(1.3333-0.75)]×[14.58÷(1+2%)] + [(1.3333-1-2%)÷(1.3333-0.75)]×[0÷(1+2%)]
=（0.27÷0.5833）×（14.58÷1.02）
= 6.62（元）
我们利用上一篇套期保值例子的数据回顾一下公式的推导思路：
最初，投资于0.5股股票，需要投资25元；收取6.62元的期权价格；尚需借入18.38元资金。
半年后......
如果股价涨到66.66元
投资人0.5股股票收入33.33元；借款本息为18.75元（18.38×1.02），看涨期权持有人会执行期权。期权出售人补足价差14.58元（66.66-52.08），投资人的净损益为零。
如果股价下降到37.50元
投资人0.5股股票收入18.75元；支付借款本息18.75元（18.38×1.02），看涨期权持有人不会执行期权，期权出售人没有损失，投资人的净损益为零。
因此，该看涨期权的公平价值就是6.62元。
题外话，Merry Christmas！
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