初中三角形添輔助線——旋轉，找到這個共性就會用

大家好，我是徽鄉小居。今天講解初中三角形非常重要也是很難的一種添輔助線思想方法——

旋轉。經過2天的細心篩選整理，對旋轉法有自己的總結、心得，可以編寫內容了。廢話少說，我們來看第一題。

概念： 一個圖形繞某點轉動一個角度稱為旋轉變換。

1.如圖，在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，P是△ABC內的一點，PA＝1，PB＝3，PC＝√7（根號7），則∠CPA＝_____________.

思路分析：通過觀察、分析必須要作輔助線才能解，看AB=AC，P是△ABC內的一點容易想到旋轉法，因為旋轉法必須有兩邊相等才能通過旋轉構造全等三角形。如下圖所示，將△ABP繞逆時針旋轉90°得到△ACQ，根據旋轉的性質可得出∠QPA=45°，根據勾股定理可證出∠PAQ=90°，從而得出答案。

總結：旋轉思想添輔助線具有的共性:兩邊相等且共點，發現這樣的特點就注意用旋轉思路巧解題了。本題考查了等腰直角三角形及旋轉的性質，難度大，很難想到將△ABP正確的旋轉.

昇華：旋轉變換的思想作輔助線的三大作用：

一、將幾何圖形中彼此孤立的線段或角繞某點旋轉後，使其之間的數量關係或大小關係明朗化；

二、將幾何圖形中的某個圖形繞某點旋轉後，使複雜問題簡單化；

三、能夠從整體把握多條輔助線的作法。

再來看第二題，不用旋轉來做還真難辦。

2.如圖，在△ABC中，AB=AC，△ABC內有一點P，若∠APB=∠APC，求證：∠PBC=∠PCB.

思路分析：這道題很多學生以為簡單，拿起了猛做，越做越不對勁。看這道題AB=AC，且共點A，可以用旋轉變換來考慮，這樣就打開正確之門做出來。如下圖所示，把△ABP繞點A旋轉到△ACP1，連接PP1，AP=AP1，PB=P1C，通過等腰三角形的性質，最後得出PC=P1C=PB ,從而得證.

總結:遇到困難時，注意觀察題目條件特點，從而用旋轉變換來證明。本題考查旋轉的性質和等腰三角形的性質。解題的關鍵在於熟練掌握及靈活運用旋轉法。

好，看下面這道題，是不是可以自己做了呢？

3.正方形ABCD中，E為BC上的一點，F為CD上的一點，BE+DF=EF，求∠EAF的度數.

思路分析：是不是同樣的味道，同樣的感覺，AB=AD，共點A。如下圖所示，將△ADF順時針旋轉90°到△ABG。易證△ABG≌△ADF，從而得到AF=AG，進而求證△AEG≌△AEF可得∠EAG=∠EAF，即可求出∠EAG+∠EAF=90°.

我們再來看第4題，也具有旋轉的共性，可用旋轉思想來解題。

4.如圖所示，△ABC是正三角形，△BDC是頂角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D為頂點作一個60°角，角的兩邊分別交AB、AC邊於M、N兩點，連接MN．試探究線段CN、BM、MN之間的關係，並加以證明．

思路分析：現在對旋轉法熟悉了吧，那麼這道題明顯旋轉△BDM到△CDM1如下圖所示。通過證明△MDN≌△NDM1就得到了。這道題證明三條線線段和差關係也可以用截長補短法來添輔助線。

證明：如圖所示，延長AC至M₁，使CM₁＝BM，連接DM₁．

∵ △ABC是正三角形，∴ ∠ABC＝∠ACB＝60°．

∵ ∠BDC＝120°，且BD＝CD，

∴ ∠DBC＝∠DCB＝30°．

∴ ∠ABD＝∠ACD＝90°．

又∵ BD＝CD，BM＝CM₁，

∴ Rt△BDM≌Rt△CDM₁(SAS)．

∴ DM＝DM₁，∠BDM＝∠CDM₁，

∴ ∠MDM₁＝∠MDC＋∠CDM₁＝∠MDC＋∠BDM＝∠BDC＝120°．

又∵ ∠MDN＝60°．∴ ∠M₁DN＝∠MDN＝60°．

又∵ DM＝DM₁，DN＝DN，∴ △MDN≌△M

₁DN(SAS)．

∴ MN＝M₁N＝NC＋M₁C＝CN＋BM．

到這裡想必旋轉思想添輔助線已經學會了，那麼一起來練練兩道題吧。

5.如圖，P是等邊三角形ABC內一點，將線段AP繞點A順時針旋轉60°得到線段AQ，連接BQ.若PA=6，PB=8，PC=10，則四邊形APBQ的面積為 .

【答案】24+9√3（根號3）

6.D為等腰Rt△ABC斜邊AB的中點，DM⊥DN,DM,DN分別交BC,CA於點E,F。

（1）當∠MDN繞點D轉動時，求證 DE=DF。

（2）若 AB=2，求四邊形 DECF 的面積。

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