角平分線中常用的作輔助線的方法

因為角的平分線已經具備了全等三角形的兩個條件（角相等和公共邊），所以在處理角的平分線的問題時，常作出全等三角形的第三個條件，截兩邊相等（SAS）或向兩邊作垂線段（AAS）等來構造全等三角形。今天跟大家介紹幾種角平分線中常用的作輔助線的方法。

方法一：作一邊的垂線段

例1：如圖，已知△ABC的周長為24，OB，OC分別平分∠ABC，∠ACB，OD⊥BC於點D，且OD＝2，求△ABC的面積。

【分析】連接OA，作OE⊥AB於E，OF⊥AC與F，根據角平分線的性質求出OE、OF的長，根據△ABC的面積＝△A0B的面積+△BOC的面積+△AOC的面積計算即可．

【解答】解：連接OA，作OE⊥AB於E，OF⊥AC於F，

∵OB，OC分別平分∠ABC，∠ACB，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，

∴OE＝OE＝OD＝2，

答：△ABC的面積是24．

【點評】本題主要考查平分線的性質，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關鍵，注意輔助線的作法要正確．

方法二：作兩邊的垂線段

例2：如圖，∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分線，將三角尺的直角頂點P在射線OM上滑動，兩直角邊分別與OA，OB交於點C和D，證明：PC＝PD．

【分析】過點P點作PE⊥OA於E，PF⊥OB於F，根據垂直的定義得到∠PEC＝∠PFD＝90°，由OM是∠AOB的平分線，根據角平分線的性質得到PE＝PF，利用四邊形內角和定理可得到∠PCE+∠PDO＝360°﹣90°﹣90°＝180°，而∠PDO+∠PDF＝180°，則∠PCE＝∠PDF，然後根據“AAS”可判斷△PCE

【解答】證明：過點P點作PE⊥OA於E，PF⊥OB於F，如圖，

∴∠PEC＝∠PFD＝90°，

∵OM是∠AOB的平分線，

∴PE＝PF，

∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，

∴∠PCE+∠PDO＝360°﹣90°﹣90°＝180°，

而∠PDO+∠PDF＝180°，

∴∠PCE＝∠PDF，

∴△PCE≌△PDF（AAS），

∴PC＝PD

【點評】本題考查了角平分線的性質：角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等．也考查了三角形全等的判定與性質．

方法三：截長補短法

例3：先閱讀下面的材料，然後解答問題：

已知：如圖1等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AD是角平分線，交BC邊於點D．求證：AC＝AB+BD．

證明：如圖1，在AC上截取AE＝AB，連接DE，則由已知條件易知：Rt△ADB≌Rt△ADE（AAS）

∴∠

又∵∠C＝45°，∴△DEC是等腰直角三角形．

∴DE＝EC．

∴AC＝AE+EC＝AB+BD．

我們將這種證明一條線段等於另兩線段和的方法稱為“截長法”．

解決問題：現將原題中的“AD是內角平分線，交BC邊於點D”換成“AD是外角平分線，交

【分析】根據Rt△ADB≌Rt△ADE

【解答】解：如圖2，在CA的延長線上截取AE＝AB，連接DE．

則由已知條件易知：△ADB≌△ADE（SAS）．

∴∠AED＝∠ABD＝90°，AB＝AE，DB＝DE，

又∵∠C＝45°，∴△DEC是等腰直角三角形．

∴DE＝EC．

∴DB＝AE+AC＝AB+AC．

【點評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，通過作輔助線構成全等三角形是解題的關鍵，難度適中．

方法四：截取作對稱圖形法

例4：如圖，AD為△ABC的中線，DE，DF分別是△ADB和△ADC的角平分線，試說明:BE+CF＞EF

【分析】根據中線的定義可得BD＝CD，在

【解答】證明：∵AD為△ABC的中線，

∴BD＝CD，

如圖，在AD上截取DN

∵DE、DF分別為△ADB、△ADC的角平分線，

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，

在△EFN中，NE+NF＞EF，

∴BE+CF＞EF．

【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形的任意兩邊之和大於第三邊，作輔助線構造出全等三角形並把

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關鍵字: 全等 三角形 兩邊