算數學苑
無論是小學奧數，還是公務員考試，還是公司的筆試面試題，似乎都少不了行程問題——題目門檻低，人人都能看懂；但思路奇巧，的確會難住不少人。平時看書上網與人聊天和最近與小學奧數打交道的過程中，我收集到很多簡單有趣而又頗具啟發性的行程問題，在這裡整理成一篇文章，和大家一同分享。
這些題目都已經非常經典了，絕大多數可能大家都見過；希望這裡能有至少一個你沒見過的題目，也歡迎大家來信提供更多類似的問題。
讓我們先從一些最經典最經典的問題說起吧。
1
甲、乙兩人分別從相距 100 米的 A 、B 兩地出發，相向而行，其中甲的速度是 2 米每秒，乙的速度是 3 米每秒。一隻狗從 A 地出發，先以 6 米每秒的速度奔向乙，碰到乙後再掉頭衝向甲，碰到甲之後再跑向乙，如此反覆，直到甲、乙兩人相遇。問在此過程中狗一共跑了多少米？
這可以說是最經典的行程問題了。不用分析小狗具體跑過哪些路程，只需要注意到甲、乙兩人從出發到相遇需要 20 秒，在這 20 秒的時間裡小狗一直在跑，因此它跑過的路程就是 120 米。
說到這個經典問題，故事可就多了。下面引用某個經典的數學家八卦帖子： John von Neumann 曾被問起一箇中國小學生都很熟的問題：兩個人相向而行，中間一隻狗跑來跑去，問兩個人相遇後狗走了多少路。訣竅無非是先求出相遇的時間再乘以狗的速度。 Neumann 當然瞬間給出了答案。提問的人失望地說你以前一定聽說過這個訣竅吧。 Neumann 驚訝道：“什麼訣竅？我就是把狗每次跑的都算出來，然後計算無窮級數⋯⋯”
2
某人上午八點從山腳出發，沿山路步行上山，晚上八點到達山頂。不過，他並不是勻速前進的，有時慢，有時快，有時甚至會停下來。第二天，他早晨八點從山頂出發，沿著原路下山，途中也是有時快有時慢，最終在晚上八點到達山腳。試著說明：此人一定在這兩天的某個相同的時刻經過了山路上的同一個點。
這個題目也是經典中的經典了。把這個人兩天的行程重疊到一天去，換句話說想像有一個人從山腳走到了山頂，同一天還有另一個人從山頂走到了山腳。這兩個人一定會在途中的某個地點相遇。這就說明了，這個人在兩天的同一時刻都經過了這裡。
3
甲從 A 地前往 B 地，乙從 B 地前往 A 地，兩人同時出發，各自勻速地前進，每個人到達目的地後都立即以原速度返回。兩人首次在距離 A 地 700 米處相遇，後來又在距離 B 地 400 米處相遇。求 A 、 B 兩地間的距離。
答案： 1700 米。第一次相遇時，甲、乙共同走完一個 AB 的距離；第二次相遇時，甲、乙共同走完三個 AB 的距離。可見，從第一次相遇到第二次相遇的過程花了兩個從出發到第一次相遇這麼多的時間。既然第一次相遇時甲走了 700 米，說明後來甲又走了 1400 米，因此甲一共走了 2100 米。從中減去 400 米，正好就是 A 、 B 之間的距離了。
4
甲、乙、丙三人百米賽跑，每次都是甲勝乙 10 米，乙勝丙 10 米。則甲勝丙多少米？
答案是 19 米。“乙勝丙 10 米”的意思就是，等乙到了終點處時，丙只到了 90 米處。“甲勝乙 10 米”的意思就是，甲到了終點處時，乙只到了 90 米處，而此時丙應該還在 81 米處。所以甲勝了丙 19 米。
5
哥哥弟弟百米賽跑，哥哥贏了弟弟 1 米。第二次，哥哥在起跑線處退後 1 米與弟弟比賽，那麼誰會獲勝？
答案是，哥哥還是獲勝了。哥哥跑 100 米需要的時間等於弟弟跑 99 米需要的時間。第二次，哥哥在 -1 米處起跑，弟弟在 0 米處起跑，兩人將在第 99 米處追平。在剩下的 1 米里，哥哥超過了弟弟並獲得勝利。
6
如果你上山的速度是 2 米每秒，下山的速度是 6 米每秒（假設上山和下山走的是同一條山路）。那麼，你全程的平均速度是多少？
這是小學行程問題中最容易錯的題之一，是小孩子們死活也搞不明白的問題。答案不是 4 米每秒，而是 3 米每秒。不妨假設全程是 S 米，那麼上山的時間就是 S/2 ，下山的時間就是 S/6 ，往返的總路程為 2S ，往返的總時間為 S/2 + S/6 ，因而全程的平均速度為 2S / (S/2 + S/6) = 3 。
其實，我們很容易看出，如果前一半路程的速度為 a ，後一半路程的速度為 b ，那麼總的平均速度應該小於 (a + b) / 2 。這是因為，你會把更多的時間花在速度慢的那一半路程上，從而把平均速度拖慢了。事實上，總的平均速度應該是 a 和 b 的調和平均數，即 2 / (1/a + 1/b) ，很容易證明調和平均數總是小於等於算術平均數的。
7
接下來的兩個問題與流水行船有關。假設順水時實際船速等於靜水中的船速加上水流速度，逆水時實際船速等於靜水中的船速減去水流速度。
船在靜水中往返 A 、 B 兩地和在流水中往返 A 、 B 兩地相比，哪種情況下更快？
這是一個經典問題了。答案是，船在靜水中更快一些。注意船在順水中的實際速度與在逆水中的實際速度的平均值就是它的靜水速度，但由前一個問題的結論，實際的總平均速度會小於這個平均值。因此，船在流水中往返需要的總時間更久。
考慮一種極端情況可以讓問題的答案變得異常顯然，頗有一種荒謬的喜劇效果。假設船剛開始在上游。如果水速等於船速的話，它將以原速度的兩倍飛速到達折返點。但它永遠也回不來了⋯⋯
8
船在流水中逆水前進，途中一個救生圈不小心掉入水中，一小時後船員才發現並調頭追趕。則追上救生圈所需的時間會大於一個小時，還是小於一個小時，還是等於一個小時？
這也是一個經典問題了。中學物理競賽中曾出現過此題，《編程之美》上也有一個完全相同的問題。答案是等於一個小時。原因很簡單：反正船和救生圈都被加上了一個水流的速度，我們就可以直接拋開流水的影響不看了。換句話說，我們若以流水為參照系，一切就都如同沒有流水了。我們直接可以想像船在靜水當中丟掉了一個救生圈並繼續前行一個小時，回去撿救生圈當然也還需要一個小時。
每當有人還是沒想通時，我很願意舉這麼一個例子。假如有一列勻速疾馳的火車，你在火車車廂裡，從車頭往車尾方向步行。途中你掉了一個錢包，但繼續往前走了一分鐘後才發現。顯然，你回去撿錢包需要的時間也是一分鐘。但是，錢包不是正被火車載著自動地往遠方走嗎？其實，既然你們都在火車上，自然就可以無視火車的速度了。前面的救生圈問題也是一樣的道理。
9
下面這個問題也很類似：假設人在傳送帶上的實際行走速度等於人在平地上的行走速度加上一個傳送帶的速度。
你需要從機場的一號航站樓走到二號航站樓。路途分為兩段，一段是平地，一段是自動傳送帶。假設你的步行速度是一定的，因而在傳送帶上步行的實際速度就是你在平地上的速度加上傳送帶的速度。如果在整個過程中，你必須花兩秒鐘的時間停下來做一件事情（比如蹲下來繫鞋帶），那麼為了更快到達目的地，你應該把這兩秒鐘的時間花在哪裡更好？
很多人可能會認為，兩種方案是一樣的吧？然而，真正的答案卻是，把這兩秒花在傳送帶上會更快一些。這是因為，傳送帶能給你提供一些額外的速度，因而你會希望在傳送帶上停留更久的時間，更充分地利用傳送帶的好處。因此，如果你必須停下來一會兒的話，你應該在傳送帶上多停一會兒。
10
假設你站在甲、乙兩地之間的某個位置，想乘坐出租車到乙地去。你看見一輛空車遠遠地從甲地駛來，而此時整條路上並沒有別人與你爭搶空車。我們假定車的行駛速度和人的步行速度都是固定不變的，並且車速大於人速。為了更快地到達目的地，你應該迎著車走過去，還是順著車的方向往前走一點？
這是我在打車時想到的一個問題。我喜歡在各種人多的場合下提出這個問題，此時大家的觀點往往會立即分為鮮明的兩派，並且各有各的道理。有人說，由於車速大於人速，我應該儘可能早地上車，充分利用汽車的速度優勢，因此應該迎著空車走上去，提前與車相遇嘛。另一派人則說，為了儘早到達目的地，我應該充分利用時間，馬不停蹄地趕往目的地。因此，我應該自己先朝目的地走一段路，再讓出租車載我走完剩下的路程。
其實答案出人意料的簡單，兩種方案花費的時間顯然是一樣的。只要站在出租車的角度上想一想，問題就變得很顯然了：不管人在哪兒上車，出租車反正都要駛完甲地到乙地的全部路程，因此你到達乙地的時間總等於出租車駛完全程的時間，加上途中接人上車可能耽誤的時間。從省事兒的角度來講，站在原地不動是最好的方案！
不過，不少人找到了這個題的一個 bug ：在某些極端情況下，順著車的方向往前走可能會更好一些，因為你或許會直接走到終點，而此時出租車根本還沒追上你！
11
某工廠每天早晨都派小車按時接總工程師上班。有一天，總工程師為了早些到工廠，比平日提前一小時出發步行去工廠。走了一段時間後，遇到來接他的小車才上車繼續前進。進入工廠大門後，他發現只比平時早到 10 分鐘。總工程師在路上步行了多長時間才遇到來接他的汽車？設人和汽車都做勻速直線運動。
據說，這是一道初中物理競賽題（初中物理有“運動”一章）。答案是 55 分鐘。首先，讓我們站在車的角度去想（正如前一題那樣）。車從工廠出發，到半途中就遇上了總工程師並掉頭往回走，結果只比原來早到 10 分鐘。這說明，它比原來少走了 10 分鐘的車程，這也就是從相遇點到總工程師家再到相遇點的路程。這就說明，從相遇點到總工程師家需要 5 分鐘車程。
現在，讓我們把視角重新放回總工程師那裡。讓我們假設總工程師遇上了來接他的車並坐上去之後，並沒有下令汽車立即掉頭，而是讓車像平日那樣繼續開到他家再返回工廠，那麼他到工廠的時間應該和原來一樣。這說明，他提前出發的那一個小時完全浪費了。這一個小時浪費在哪兒了呢？浪費在了他步行到相遇點的過程，以及乘車又回到家的過程。既然乘車又回到家需要 5 分鐘，因此步行的時間就是 55 分鐘了。
12
有一位隱居在深山老林的哲學家。一天，他忘記給家裡唯一的時鐘上發條了。由於他家裡沒有電話、電視、網絡、收音機等任何能獲知時間的設備，因此他徹底不知道現在的時間是多少了。於是，他徒步來到了他朋友家裡坐了一會兒，然後又徒步回到自己家中。此時，他便知道了應該怎樣重新設定自己的時鐘。他是怎麼做的？
很多人的第一想法或許是觀察日出日落。在此，我們也假設通過太陽位置判斷時間是不可靠的。 Update: 不少網友找到了此題的一個 bug 。在此我們假設，時鐘是固定在牆上的，或者由於太重，無法直接帶走。
傳統意義上說，這個問題不算行程問題。不過，在寫這篇文章時，這個問題立即跳入我的腦海，我也就把它放進來了。
答案：別忘了，他家裡的時鐘並不是不走了，只是不準了而已。因此，他可以藉助自己家裡的時鐘，判斷他此次出行一共花了多久。假設往返所花時間一樣，再結合在朋友那兒看到的正確時間，他便能算出應該怎樣調整自己的時鐘了。
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