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01 類型一、平行線及平行公理
【例1】下列說法中正確的有 ( ) ．
①一條直線的平行線只有一條；②過一點與已知直線平行的直線只有一條；③因為a∥b，c∥d，所以a∥d；④經過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行．
A．1個 B 2個 C．3個 D．4個
【答案】 A
【解析】一條直線的平行線有無數條，故①錯；②中的點在直線外還是在直線上位置不明確，所以②錯，③中b與c的位置關係不明確，所以③也是錯誤的；根據平行公理可知④正確，故選A．
【總結昇華】本題主要考察的是“平行公理及推論”的內容，要正確理解必須要抓住關鍵字詞及其重要特徵，在理解的基礎上記憶，在比較中理解．
舉一反三：
【變式】如圖，在正方體中：
（1）與線段AB平行的線段_________；
（2）與線段AB相交的線段______；
（3）與線段AB既不平行也不相交的線段______．
【答案】
（1）CD、A1B1、C1D1；
（2）BC、BB1、A1A、AD；
（2）A1D1、D1D 、B1C1、CC1．
【例2】如圖所示，直線l1∥l2，點A、B在直線l2上，點C、D在直線l1上，若△ABC的面積為S1，△ABD的面積為S2，則( ) ．
A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不確定
【答案】B
【解析】因為l1∥l2，所以C、D兩點到l2的距離相等．同時△ABC和△ABD有共同的底AB，所以它們的面積相等．
【總結昇華】三角形等面積問題常與平行線間距離處處相等相結合．
舉一反三：
【變式】如圖，在兩個一大一小的正方形拼成的圖形中，小正方形的面積是10平方釐米，陰影部分的面積為 平方釐米．
【答案】5 提示：連接BF，則得AC∥BF，進而有S陰影＝S△ABC ．
【例3】下面兩條平行線之間的三個圖形，圖 ③的面積最大，圖 ②的面積最小．
【思路點撥】兩個完全一樣的三角形可以拼成一個平行四邊形，每個三角形的面積是拼成的平行四邊形面積的一半；兩個完全一樣的梯形可以拼成一個平行四邊形，每個梯形的面積是拼成的平行四邊形面積的一半.因為高相同，所以可以通過比較平行四邊形的底的長短，得出平行四邊形面積的大小.
【答案】圖3，圖2
【解析】
解：因為它們的高相等，三角形的底是8，8÷2=4，梯形的上、下底之和除以2，（2+7）÷2=4.5；5＞4.5＞4；
所以，圖3平行四邊形的面積最大，圖2三角形的面積最小.
【總結昇華】根據平行線的性質，得出梯形、三角形、平行四邊形的高相等，求出三角形底的一半，梯形上、下底之和的一半，與平行四邊形的底進行比較，由此得出正確答案.
舉一反三：
【變式】下圖是一個方形螺線．已知相鄰均為1釐米，則螺線總長度是 釐米.
【答案】35
02 類型二、平行線的判定
【例4】(江蘇)如圖所示，直線a、b被直線c所截，現給出下列四個條件：
①∠1＝∠5； ②∠1＝∠7； ③∠2＋∠3＝180°； ④∠4＝∠7，其中能判斷a∥b的條件的序號是 ( ).
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
【思路點撥】根據平行線的判定方法進行判斷．
【答案】A
【解析】①由∠1＝∠5可推出a∥b，理由是同位角相等，兩直線平行．
②∵ ∠1＝∠7，又∠7＝∠5，
∴ ∠1＝∠5，可推出a∥b．
③∠2＋∠3＝180°不能推出a∥b．
④∠4＝∠7不能推出a∥b．
【總結昇華】從題目的結論出發分析所要說明的結論能成立，必須具備的是哪些條件，再看這些條件成立又需具備什麼條件，直到追溯到已知條件為止．
舉一反三：
【變式1】如圖，下列條件中，不能判斷直線
的是（ ）.
A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠3 C．∠4＝∠5 D．∠2＋∠4＝180°
【答案】B
【變式2】已知，如圖，BE平分ÐABC，CF平分ÐBCD，Ð1＝Ð2，求證：AB//CD．
【答案】
證明：∵ Ð1＝Ð2
∴ 2Ð1＝2Ð2 ，即∠ABC＝∠BCD
∴ AB//CD （內錯角相等，兩直線平行）
【例5】.如圖所示，由(1)∠1＝∠3，(2)∠BAD＝∠DCB，可以判定哪兩條直線平行．
【思路點撥】試著將複雜的圖形分解成“基本圖形”．
【答案與解析】
解：(1)由∠1＝∠3，
可判定AD∥BC（內錯角相等，兩直線平行）；
(2)由∠BAD＝∠DCB，∠1＝∠3得：
∠2＝∠BAD-∠1＝∠DCB-∠3＝∠4（等式性質），即∠2＝∠4
可以判定AB∥CD（內錯角相等，兩直線平行）．
綜上，由（1）（2）可判定：AD∥BC，AB∥CD.
【總結昇華】本題探索結論的過程採用了“由因索果”的方法．即在條件下探索由這些條件可推導出哪些結論，再由這些結論推導出新的結論，直到得出結果．
【例6】在同一平面內，如果兩條直線都垂直於同一條直線，那麼這兩條直線平行嗎？為什麼？
【答案與解析】
解：這兩條直線平行.理由如下：
如圖：
∵ b⊥a, c⊥a
∴ ∠1＝∠2＝90°
∴ b∥c (同位角相等，兩直線平行) ．
【總結昇華】本題的結論可以作為兩直線平行的判定方法.
舉一反三：
【變式】已知，如圖，EF^EG，GM^EG，Ð1＝Ð2，AB與CD平行嗎？請說明理由．
【答案】
解：AB∥CD．理由如下：如圖：
∵ EF^EG，GM^EG (已知)，
∴ ∠FEQ＝∠MGE＝90°(垂直的定義)．
又∵ ∠1＝∠2(已知)，
∴ ∠FEQ -∠1＝∠MGE -∠2 (等式性質)，
即∠3＝∠4．
∴ AB∥CD (同位角相等，兩直線平行)．
【例7】 如圖，給出下列四個條件：（1）AC＝BD；（2）∠DAC＝∠BCA；（3）∠ABD＝∠CDB；（4）∠ADB＝∠CBD,其中能使AD∥BC的條件有 （ ）.
A．（1）（2） B．（3）（4） C．（2）（4） D．（1）（3）（4）
【思路點撥】欲證AD∥BC，在圖中發現AD、BC被一直線所截，故可按同位角相等、內錯角相等、同旁內角互補，兩直線平行補充條件．
【答案】C
【解析】從分解圖形入手，即尋找AD、BC的截線.
【總結昇華】從題目的結論出發分析所要說明的結論能成立，必須具備的是哪些條件，再看這些條件成立又需具備什麼條件，直到追溯到已知條件為止．
舉一反三：
【變式】一個學員在廣場上駕駛汽車，兩次拐彎後，行駛的方向與原來的方向相同，這兩次拐彎的角度可能是( )
A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°
B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°
C．第一次向右拐50°，第二次向右拐130°
D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°
【答案】A
提示：“方向相同”有兩層含義，即路線平行且方向相同，在此基礎上準確畫出示意圖．
圖B顯然不同向，因為路線不平行．
圖C中，∠1＝180°-130°＝50°，路線平行但不同向．
圖D中，∠1＝180°-130°＝50°，路線平行但不同向．
只有圖A路線平行且同向，故應選A．
03 類型三、圖形的平移
【例8】如圖所示，平移△ABC，使點A移動到點A′，畫出平移後的△A′B′C′．
【思路點撥】平移一個圖形，首先要確定它移動的方向和距離，連接AA′後這個問題便獲得解決．根據平移後的圖形與原來的圖形的對應線段平行(或在一條直線上)且相等，容易畫出所求的線段．
【答案與解析】
解：如圖所示，
（1）連接AA′，過點B作AA′的平行線l，在l上截取BB′＝AA′，則點B′就是點B的對應點．
（2）用同樣的方法做出點C的對應點C′，連接A′B′、B′C′、C′A′，
就得到平移後的三角形A′B′C′．
【總結昇華】平移一個圖形，首先要確定它移動的方向和距離．連接AA′，這個問題就解決了，然後分別把B、C按AA′的方向平移AA′的長度，便可得到其對應點B′、C′，這就是確定了關鍵點平移後的位置，依次連接A′B′，B′C′，C′A′便得到平移後的三角形A′B′C′．
【例9】(湖南益陽)如圖所示，將△ABC沿直線AB向右平移後到達△BDE的位置，若
∠CAB＝50°，∠ABC＝100°，則∠CBE的度數為________．
【答案】30°
【解析】根據平移的特徵可知：∠EBD＝∠CAB＝50°而∠ABC＝100°
所以∠CBE＝180°-∠EBD-∠ABC＝180°-50°-100°＝30°
【總結昇華】圖形在平移的過程有“一變兩不變”、“一變”是位置的變化，“兩不變”是形狀和大小不變．本例中由△ABC經過平移得到△BED．則有AC＝BE，AB＝BD，BC＝DE，∠A＝∠EBD，∠C＝∠E，∠ABC＝∠BDE．
舉一反三：
【變式】 (上海靜安區一模)如圖所示，三角形FDE經過怎樣的平移可以得到三角形ABC( ).
A．沿EC的方向移動DB長
B．沿BD的方向移動BD長
C．沿EC的方向移動CD長
D．沿BD的方向移動DC長
【答案】A
轉載請註明：軒爸輔導 » 數學七下，第一章，平行線的判定，典型例題
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