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接39期
例6 （2000年第11届“希望杯”全国数学邀请赛试题）不相等的两角∠α 、∠β 的两边分别平行，且∠α 比∠β的3倍少20°，则∠α 的大小是（ ）。
解： ∠α 与∠β 的两边分别平行，则∠α 与∠β 相等或互补（如图5）。又∠α ≠∠β ，故∠α 与∠β 互补。
∴∠α+∠β =180°又∠α比∠β的3倍少20°，∴∠α=3∠β-20°。由①∠α+∠β=180°，②∠α=3∠β-20°。
解得∠α=130°。
反思：
（1）两个角的两边分别平行是判定两角相等或互补的方法。具体判定时，应看两个角两边的方向；若完全相同或完全相反，则相等；若一同一异，则互补。
（2）当两个角之间有和差或倍分关系时，常转化为设未知数用代数的方法去解。
（3）请读者思考：若一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角的关系时什么？
例7 （陕西咸阳市数学竞赛培训）如图6，已知DA⊥AB，DE⊥EC，DE评分∠ADC，CE平分∠BCD，求证：BC⊥AB。
分析：在一个三角形内部，如果两角之和是90°，那么另一个角必为直角，直角的两边必垂直。
证明： ∵DA⊥AB，DE⊥EC，∴∠1+∠2=90°，∠1+∠4=90°，∠3+∠6=90°。∵DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，∴∠2=∠3，∠5=∠6。∴∠4=∠3。∴∠4+∠6=90°，即∠4+∠5=90°。∴△EBC中，∠EBC=90°。即BC⊥AB。
例8 如图7，AE//BD，∠1=3∠2，∠2=25°。求∠C。
分析： 利用平行线的性质，可以将角“转移”位置，如∠1=∠DFC或∠AFB。若能将∠1、∠2、∠C“集中”到一个顶点处，这是再理想不过的了，过F点作BC的平行线恰能实现这个目标。
解： 过点F作FG//BC交AB与G，则∠C=∠AFG，∠2=∠BFG。∵AE//BD，∴∠1=∠BFA。
∴∠C=∠AFG=∠BFA－∠BFG=∠1－∠2=3∠2－∠2=2∠2=50°。
反思： 运用平行线的性质，将角集中到适当位置，是添加辅助线（平行线）的应用技巧。当然同学们在学了“三角形内角和”等知识后，可有以下较为简便的解法：
∠1=∠DFC=∠C=∠2，即∠C=∠1－∠2=2∠2=50°。
例9 如图8，已知AB//CD，请你观察∠E、∠B、∠D之间有什么关系？证明你所得到的结论。
解： 通过观察，∠E、∠B、∠D有以下关系∠D=∠B+∠E。证明如下：
过H作HF//BE。
∴∠EHF=∠E（两直线平行，内错角相等），∠AHE=∠B（两直线平行，同位角相等）。
∴∠AHE=∠E+∠B（等式性质）。
∵AB//CD（已知），∴∠AHE=∠D（两直线平行，同位角相等）。
∴∠D=∠B+∠E（等量关系）。
反思：
（1）观察三角关系，可借助量角器度量，从而得到∠D=∠B+∠E。
（2）证明∠D=∠B＋∠E的关键是将三个角进行转移，此时平行线的性质又起了决定性的作用。辅助线正是角的转移和重新组合的桥梁。
（完）
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