姜伯駒院士“怒批”數學新課標
何小亞：回姜伯駒院士——“新課標讓數學課失去了什麼”
何小亞
華南師範大學數學科學學院
近日，讀了《光明日報》教育週刊（2005年3月16日5版）對中國科學院院士姜伯駒先生的專訪，知道姜伯駒先生在剛剛結束的“***”上提交了一份提案，指出正在實行的“新課標”，即《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》存在比較“嚴重的”問題。筆者非常敬佩姜伯駒先生關心基礎教育，力排眾議，積極行使政協委員權利的行動。但對姜先生的一些觀點不敢苟同。
1.姜先生認為：
課程改革對教材的處理不外乎兩種類型：一是體系幾乎不變，內容修修補補，增增減減；二是在保持原來基本內容的基礎上，重新構建新體系。我們國家從解放初至今，數學教育幾乎是每隔十年就有一次較大的改革，這些改革都屬於第一種。
但值得我們注意的是，改革的實踐並沒有表明，我們國民的數學素養有了多大提高，有越來越多的人喜歡數學。相反，倒是有不少人討厭數學。君不見我們培養出來那麼多的奧林匹克選手還有幾個在玩數學呢？就拿我國的數學研究水平來說，王元院士和丘成桐院士都經常在各種場合說中國的數學研究水平離世界一流水平還差得很遠很遠。
教育部的調查表明（劉兼，孫曉天主編. 全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）解讀. 北京師範大學出版社，2002.5. P71~78）：舊課程存在著諸多有目共睹的問題，比如反映在學習內容上的問題：“過分追求邏輯嚴謹和體系形式化；學習內容在不同層度上存在“繁、難、偏、舊”的狀況；數學教材類型貧乏，選擇餘地很小。“
又比如在學習方式上反映出來的問題：“學生數學學習的方式以被動接受方式為主要特徵；對主動獲取知識以及學會學習的能力、態度、習慣、方式的培養重視不夠；藉助信息技術手段進行數學實驗和多樣化的探究或學習，拓展自己的學習空間，仍是一個相當薄弱的方面。”
數學新課程改革是在廣泛汲取了發達國家課程改革的經驗後採取第二種方式。既然第一種方式仍存在著那麼多問題，我們為什麼不可以“另起爐灶”呢？至於說教學上出現的一些“混亂”也是很正常的。我們不能因為教學上出現一些“混亂”就墨守成規，固步自封。姜先生承認, 學生的學業負擔跟數學課程內容的多少沒有關係，主要責任在考試．
現在數學新課程教學中出現的“亂”也還是由考試這個指揮棒引起的．事實上，大多數老師和家長都歡迎新課程，但又害怕升學考試還是按以前的舊方式進行．由於擔心自己的學生、孩子考試吃虧，於是就出現了“家長找老師補課，補舊教材，穿新鞋走老路．”的現象．這種現象會隨著考試製度改革的深入而消失．
2.姜先生說：
如果沒有理解錯誤的話，姜先生所說的“水準”應指的是數學知識的難度。數學教材知識難度的高低並不能說明數學課程的優劣。美國六七十年代搞得轟轟烈烈的“新數學”課程改革，實際上是增加教材知識難度，強調公理化演繹推理和數學結構的一項改革，結果以失敗而告終。我國目前的“全民”所學的奧數，也因其過難所造成的公共危害而被叫停。姜先生作為一個研究純數學的數學家，擔心數學教材“水準”的降低而使國人的數學水準降低，這是可以理解的。但是，這個問題可以從兩個方面去看。
首先，在這個信息呈幾何級數增長的社會，有許多比純數學知識更重要的信息需要我們的學生去處理，我們沒有必要讓每個學生都學統一的公理化數學。
也就是說，社會是一個複合體，我們需要純數學理論型的人才，也需要應用數學型的人才；我們需要傳播數學的人才，也更需要大量的各行各業的技能型人才。1929年和１９３０年，清華大學並沒有因為錢鍾書先生的數學考了15分，吳晗考了０分而分別將兩人拒之於門外。這幾十年，中國的基礎教育數學教材雖然有“水準”，但我們培養的學生的創新能力如何呢？又培養了幾個數學大師呢？
其次，新課標的“水準”真的是總體水平比多年實行的幾個數學教學大綱低嗎？
從姜先生的講話（“不講證明，數學課就失去了靈魂。”）中我們發現，姜先生非常看重數學推理證明。不過，您所說的數學推理證明僅僅是數學中的一部分，屬於演繹推理的範疇。數學需要演繹推理，但從科學發現的角度來說，更需要合情推理。合情推理是符合情理（經驗）但並不具有必然性的推理。
大多數數學概念的提出和數學定理的發現，先是通過合情推理的方式提出假說，然後經過演繹推理的論證才得出來的。由於我們過去太注重形式運演的演繹推理，忽視了科學發現的合情推理，所以造成了我們的學生習慣於解答別人給的現成問題，學得越多，就越來越不會發現問題，提出問題和解決真正的問題。這也就是我們的數學落後的真正原因。
有感於此，已故數學家陳省身先生曾經寄語國內的數學工作者：“要在本土上有自己的問題， 讓外國人跟著我們的問題做。”新課程不是不講推理證明，而是將其分散於不同的階段。與舊課程相比，形式化的演繹證明被淡化，但用於科學發現的合情推理則被重視。
這是基於數學教育的最終目標——發展學生的科學創新意識和動手實踐能力的需要而作的改革。因此，從邏輯演繹和局部知識點的角度看， “新課標”的要求在降低，但從科學發現和創新以及知識體系的角度看，“新課標”的＂水準＂不是降低了而是提高了。經過四年多的教學實驗，教師們已體會到邏輯演繹好教，合情推理難教。
3.姜先生之所以，是因為先生心目中的數學就是科學數學．
前蘇聯數學家阿.尼.柯莫戈洛夫（1903-1987）提出，數學以其高度的概括性、邏輯的嚴謹性和應用的廣泛性為特徵。他這裡所說的數學就是科學數學。當今世界的數學教育已發生了很大的變化，數學教育的內容不是科學數學本省，科學數學僅僅是數學教育的資源庫。對科學數學提供的素材進行教學重構就得到“教育數學”（此術語的原創屬張景中院士），它才是數學教育的內容。
數學是什麼？數學已不僅僅是純粹數學，應用數學正扮演著越來越重要的角色．公理化和邏輯論證這些整理數學的思想固然重要，但找關係，發現規律的數學創造更重要．數學教育的基本問題是“教”與“學”的問題，即你如何教，教到什麼程度？你如何學，學什麼？是注重形式計算，還是注重理解與實際應用？是注重嚴謹的定義，還是注重本質的思想？是注重結論的演繹論證，還是注重結論的發現過程？
新的數學教材打破了傳統教材過分強調知識內容本身的完整性和統一性這一束縛，淡化知識體系，以課題為主線。通過“數與代數”、“空間與圖形”、“統計與概率”、“實踐與綜合應用或課題學習”四部分內容的相互滲透，以反映數學的各個領域之間，數學與自然，數學與社會，數學與科學之間的聯繫，更高層次地體現數學的整體性和統一性。
4.姜先生認為，
第一，邏輯推理能力的培養並不是僅僅*數學的形式證明來培養的．
我們不否認命題＂通過學數學能培養學生的邏輯推理能力和理性精神．＂但這一命題的逆命題並不真，也就是說，培養學生的邏輯推理能力和理性精神並不一定要通過學數學．因為邏輯推理包括形式邏輯推理和辯證邏輯推理．在形式邏輯方面，要求思維主體遵守形式邏輯的基本規律（同一律、矛盾律、排中律、充足理由律），也就是說，在推理過程中，概念和判斷必須保持一致性，判斷不自相矛盾，不模稜兩可，要有充分的根據。
其表現形式主要有分析、綜合、抽象、概括、比較、分類、歸納、演繹、系統化、證明、反駁等等．而在辯證邏輯方面，要求主體運用辯證的觀點去處理所面臨的問題，即表現為思維過程的辯證法。例如：客觀事物是不斷地運動、變化、發展著的；事物的發展變化遵循著對立統一規律、質量互變規律和否定之否定規律。化陌生為熟悉、化繁為簡、正難則反、順推與逆推之結合、動與靜之轉化、一般與特殊之互化。
這些思維形式都是一般的科學思維方法，在社會科學和自然科學中俯拾皆是．儘管錢鍾書先生的數學只考了1５分，但有人用電腦對其作品《圍城》進行統計分析，竟然沒有一個邏輯性的錯誤．著名的時事評論家，原《羊城晚報》總編輯許實（微音）先生的數學長期不及格，但其對時弊的評論分析卻是絲絲如扣，有理有據，入木三分．就是這樣一個數學長期不及格的“學生”竟然使“街談巷議”專欄成為了論理的名牌專欄．
又比如人們在過馬路時的“左顧右盼，沒車才過來”原則，就是邏輯推理中三段論的具體運用．再比如邏輯學，推理小說，以及大量充斥於各種媒體的邏輯推理趣題和推理斷案，都在幫助我們建構自身的邏輯框架。事實表明，我們天天都在學習邏輯，運用邏輯，生活中到處是邏輯．可以這樣說，沒有生活，就沒有鮮活的邏輯推理，而“低水準”的數學，並未使邏輯推理的大廈坍塌。換句話說，數學對人的邏輯推理能力的培養只是一條充分而非必要的條件。
第二，數學創新能力的培養*的不是邏輯推理，而是合情推理．
回顧數學的發展歷程，數學結論的發現和創新主要*的是實驗、觀察、估算、類比、歸納、聯想、想象、猜測等合情推理，而邏輯推理則只是真理在手後的論證．數學家拉普拉斯曾說：“數學中達到真理的主要方法，是歸納和類比．”數學家歐拉也說過：“今天已知的數的性質，大部分都是通過觀察發現的，並且遠在能嚴格證明它們之前，就被發現．”
中國科學院數學與系統科學研究院吳文俊院士指出：“學校裡給的數學題目都是有答案的，已知什麼，求證什麼，都是清楚的，題目也一定是做得出的。但是將來到了社會上，所面對的問題大多是預先不知道答案的，甚至不知道是否會有答案。這就要培養學生的創造能力，學會處理各種實際數學問題的方法，但要做到這一點，光憑邏輯推理是不夠的。”
過去，我們總是把數學的邏輯推理功能放大，已造成因小而失大的後果．現在，我們應該給數學“減負”！
5.姜先生說：這是對標準的誤解。標準中第42頁的“(2)掌握以下基本事實作為證明的依據”，給出了平面幾何推理的四條（實際上是六條）“公理”。而在第43頁的(3)中明確指出：“（3）利用(2)中的基本事實證明下列命題[1]：
① 平行線的性質定理（內錯角相等、同旁內角互補）和判定定理（內錯角相等或同旁內角互補，則兩直線平行）。
② 三角形的內角和定理及推論（三角形的外角等於不相鄰的兩內角的和，三角形的外角大 於任何一個和它不相鄰的內角）。
③ 直角三角形全等的判定定理。
④ 角平分線性質定理及逆定理；三角形的三條角平分線交於一點（內心）。
⑤ 垂直平分線性質定理及逆定理；三角形的三邊的垂直平分線交於一點（外心）。
⑥ 三角形中位線定理。
⑦ 等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的性質和判定定理。
⑧ 平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性質和判定定理。”
這些白底黑字的內容都清清楚楚地告訴我們，社會上傳言的“沒有了”、“不要求證明了”的“三角形內角和定理”、“梯形中位線定理”等，其實在“新課標”裡都有，都要求，而且內容更多，要求更高。
不可否認，作為新生兒的“新課標”存在著許多問題，我們應本著愛護、完善、公正的態度去對待她。評價“新課標”，應當先熟悉“新課標”。不仔細研究“新課標”，僅憑道聽途說就指責“新課標”，這是不理性的。
既然承認教育的效果是滯後的，那麼在舊課程問題多多，而又沒有充分的證據否定“新課標”時，我們不應該隨便叫停“新課標”．“數學家談數學教育改革，不能只從培養數學家的角度來看問題。一萬人口中頂多有一兩個數學家，不能用數學家的要求來指導中小學數學教學。我們常常以自己如何走上數學道路的經驗來判斷是非，那是不全面的。”(吳文俊語)
最後想指出的是，筆者十分同意姜先生的建議，課程改革要漸進，不能操之過急，搞全國一刀切，應該允許地區之間的改革進程存在差異。
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