數學史上父子均為數學家的情況時有發生，但都成為著名數學家的卻屈指可數，而之前我們所介紹的法國

大學學過抽象代數的同學肯定對阿廷這個名字不陌生，其中的阿廷環和伽羅瓦定理的經典證明都是來自埃米爾-阿廷，可能很多同學也看過或聽說過邁克爾·阿廷的名著《代數》。不瞭解具體情況的同學可能會認為這是同一個數學家，但實際上他們是一對父子。父親埃米爾·阿廷是20世紀上半葉最偉大的代數學家之一，而兒子邁克爾·阿廷則在代數幾何領域內成果頗豐，因此榮獲了2013年的數學最高獎沃爾夫數學獎。

埃米爾·阿廷

埃米爾·阿廷(Emil Artin，1898~1962)出生於奧匈帝國時期的維也納，他的生父是畫商，但在阿廷出生後不久就離世了，母親帶著他改嫁給了一名經營紡織廠的商人，在這樣的成長環境下，阿廷的童年實際上很孤獨。阿廷小時候並沒有表現出太大的學習天賦，中學時候比較喜歡的是化學而非數學，迷上數學是在維也納大學上學之後的事。

彼時的維也納只有維廷(Wirtinger)格和菲特溫格勒這樣兩位國際證知名的數學家，而後者給了阿廷一些影響，帶領他走上早期研究類域論的道路。可惜好景不長，由於第一次世界大戰激戰正酣，阿廷只讀了一學期就應徵入伍，在軍隊裡當法語翻譯。大戰結束後，阿廷來到德國萊比錫大學繼續學習數學，師從著名數學家赫格羅茨(Herglotz)。在此期間，阿廷參加了許多不同種類的課程，包括物理，化學等等。最終他的博士論文內容是關於有限域上的二次函數域，並且寫成了一篇差不多一百頁的長文，這篇文章是阿廷數學生涯中最長的一篇，幾乎佔了他全集的六分之一。

萊比錫的學習結束後，阿廷來到當時的數學中心哥廷根訪學，結識了當時全世界最優秀的一群數學家，包括埃米·諾特，西格爾(1978年首屆沃爾夫數學獎得主)等等，在這些偉大的數學友誼中，阿廷收穫了非常多的知識。儘管阿廷的才能十分出色，但哥廷根的數學家們實在太強而且職位已滿了，他無法在這裡找到教職，就連之後來的馮·諾依曼也沒有教職，他們都只能輾轉別處。1922年秋天，阿廷來到剛成立不久的

類域論與抽象代數

1923年至1933年這十年是阿廷數學生涯最輝煌的時期，在此期間他最大的成就集中於類域論和抽象代數上，這些工作奠定了他在20世紀數學中的崇高地位。

對於一個固定的代數數域k，可以考慮它的正規擴域K，每一個K對應一個伽羅瓦群G(K/k)，如果伽羅瓦群G（K/k）是交換群（即阿貝爾（Abel）群），這個擴張就稱為阿貝爾擴張，而類域論就是研究怎樣用k的元素來描述k的所有阿貝爾擴張的問題。類域論是代數數論的重要分支之一，是由數學大師希爾伯特一手締造的，而它在阿廷這裡發展到了一個高峰。阿廷早在博士論文中就探討了相關問題，他的創見在於他不把k簡單地看作代數數域，而是有限域上的代數函數域，這樣的思想促成了很多問題的解決，例如阿廷本人證明了多種特殊情況下的黎曼猜想。

阿廷在此領域內最重要的工作是關於一般互反律的。我們都知道偉大的高斯第一次給出了二次互反律的嚴格證明，但他對一般的互反律卻束手無策。1926年，蘇聯數學家切包塔邁夫證明了一個關於素理想集合密度的猜想，敏銳的阿廷立馬就從中找到了自己所需要的東西，於是他就這樣給出了一般互反律的直接證明，進一步阿廷證明了希爾伯特第九問！在此過程中他引入的L函數是及其重要的數學概念，這後來被推廣用到了著名的朗蘭茲綱領中。

如今我們都公認偉大的女數學家諾特為現代抽象代數的創始人，而除去諾特外，貢獻最大的恐怕當屬阿廷了。學過抽象代數和交換代數的同學應該都有這種感覺，那就是阿廷的名字經常出現。諾特的貢獻主要在於開闢了環論以及證明了一系列深刻的基礎定理，而阿廷則在群，環，域三開花，在這三個領域內都做出了開拓性貢獻。總結來說，群論上，他引入辮子群, 形成辮子理論 ,這也是組合群論的重要方向;在環論上,他證明了極小條件環(今稱阿廷環)的結構定理；而在域論中的貢獻集中於實域理論上，並解決希爾伯特第17問題。

實際上阿廷的數學成就遠不止我們所說的這些，他的工作深刻影響了20世紀上半葉的數學(尤其是代數學)的發展，他對數學結構的創見直接影響了法國布爾巴基學派的風格，從這一點來說，阿廷算得上是布爾巴基學派的先驅。到了1933年，阿廷才不過35歲而已，但他已經是解決了兩個希爾伯特大問題的世界數學大師。正當阿廷數學事業如日中天之時，希特勒上臺了，德國數學的末日也因此到來，大量數學家或逃亡國外或死於非命，世界數學的哥廷根時代，德國時代戛然而止，阿廷的黃金十年也就此結束。

逃亡與歸來

阿廷本身是法西斯眼中“純正”的雅利安人，但他的妻子卻是猶太人，這迫使他不得不考慮離開德國這塊是非之地，但他又留戀在哥廷根和漢堡那時快樂而自由思考數學的日子，這使得阿廷在動盪不安的時局中又呆了四年，直到1937年無處容身之時，他才帶著一家人逃亡到了美國，先後在印第安納大學和普林斯頓大學任教。整個1933年到1942年間，阿廷沒有發表過任何一篇數學論文，甚至數學界已傳開謠言，阿廷已經江郎才盡了。阿廷情緒和數學活動的低落，這其間的原因十分複雜，但戰爭帶來的巨大創傷無疑是其中一個很大的因素。儘管阿廷沒有再做出重大的數學工作，但他卻在教學上全面開花，使得眾多學生從中收益。

普林斯頓大學

阿廷的低落在他受聘於普林斯頓後得以逆轉，這對於普林斯頓的數學和阿廷本人而言，都是意義重大的“第二春”。普林斯頓年輕人們的活躍和朝氣蓬勃又激起了阿廷的熱情，他開始熱衷於和學生們交流，說出自己畢生的經驗，然後讓學生們自己領會。阿廷的正式學生和他的著作一樣並不多，但其中不乏大師名家，例如Tate和Lang，Tate是沃爾夫數學獎和阿貝爾獎的雙獎得主，同時他也是阿廷的女婿。而Lang的名字對於數學系學生而言絕不陌生，著名的數學研究生教材系列GTM裡面有很多本他的膾炙人口的著作，例如厚達900頁的鉅著《代數》。

阿廷在1956年休假的時候接受邀請回到德國，分別在哥廷根和漢堡呆了一學期，以往的點點滴滴又浮現在他的腦海中，儘管回到普林斯頓後他又教了一年書，但他時時刻刻感覺到故地對他的召喚，阿廷做了一個出乎所有人意料的決定，他要重返德國！但早已經傷透心的阿廷夫人卻不願意再回去，為此阿廷不惜和夫人離婚，執著地回到了德國，也就此與三個子女分離。

時至今日，數學界仍對阿廷當初這個近乎瘋狂的決定充滿爭議，或許沒人搞得清其中所有的原因，但可以肯定的是，除了眷戀舊土外，想重振德國數學往日的輝煌也是一大原因。但也許令阿廷失望的是，德國數學時至今日仍沒有觸及它曾今所達到的輝煌。

永遠的大師

阿廷在1962年與世長辭，只活了64歲，這對一個數學家而言完全算不上長壽，畢竟活了八九十甚至上百歲的數學家比比皆是。正如我們之前所言，阿廷一生的著作並不多，因為他不喜歡寫不完美的東西，因此他的作品大多短小精悍，突出重點，例如膾炙人口但只有100多頁的《伽羅瓦理論》。無論是數學成就亦或是教書育人，阿廷都無愧為20世紀的數學大師！他對現代數學的影響持續至今。

邁克爾·阿廷

邁克爾·阿廷(1934~，以下稱阿廷)是埃米·阿廷的次子，出生於德國漢堡，成長於美國，是典型的美國移民數學家。由於父親的影響，阿廷的本科是在普林斯頓大學讀的，後來又到哈佛大學讀數學博士，師從著名代數幾何大師扎里斯基(1981年沃爾夫數學獎得主)。到了60年代初期，法國的布爾巴基學派正值鼎盛，代數幾何也是他們討論的重點，於是阿廷來到法國，加入到布爾巴基的討論中，這使得他對法國學派，尤其是

阿廷的一生並沒有他父親那麼跌宕起伏，而且實際上長大後並沒有和自己的父親呆過太久，但提起自己的父親，他總是充滿敬意，非常珍視父親早年對他的教導和影響。可以說，阿廷的成功離不開父親的教導，由此看來，老阿廷不僅作為數學家和數學老師非常成功，而且作為一名父親，他也是十分出色的。

阿廷早年的研究課題注意跟隨法國學派，例如格羅滕迪克所開創的Topos理論和平展上同調理論，後來又轉移到概型範疇中的可表示函子上，由此得到了著名的阿廷逼近定理。同時，阿廷在代數簇的形變理論上也碩果累累，不過後來他的研究興趣又轉移到了非交換代數上。

格羅滕迪克

阿廷是當代代數幾何領域內的領袖級數學大師，他的光芒不來自他偉大的父親，而完全是因為自己卓著的成就。由於這些貢獻，阿廷一生獲獎無數，尤其是在2013年榮獲了數學最高獎之一的沃爾夫數學獎，這對一個數學家而言已是至高無上的榮譽。

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