在之前所發的 深入淺出聊抖動（Jitter）一文中我們著重學習了Jitter的時域相關內容，也遇到了很多各種各樣的專業術語，有很多人被繞暈了。所以這裡有必要再回顧一下頻域相關的概念，算是一些補充知識吧。這期就圍繞功率譜密度（Power Spectral Density，PSD）的概念展開。
先簡單回憶一下圖1中的任意實信號x(t)，及其擴展函數，絕對值|x(t)|和平方x^2(t)。如果是個電壓或電流信號，我們可以得到能量Energy和功率Power的相關定義。如任意時間段的總能量，瞬時功率，平均功率等。
圖1
而x(t)存在傅里葉變換的充分條件為，x(t)滿足絕對積分（absolute integratable）且有有限個間斷點。在頻域存在著等效的表達式X(jω)。同時包含著幅度譜和相位譜。即存在傅里葉變換對，滿足時域和頻域的相互轉換，且二者是等價的。
在存在傅里葉變換的條件下，根據帕薩瓦爾（Parseval）定理，我們知道同樣有著能量守恆的關係，如圖2所示。其中傅里葉變換|X(jω)|^2可以稱之為信號x(t)的能量譜密度（Energy Spectrum Density，ESD）。利用極限的概念，有信號x(t)的功率譜密度Sx(f)的定義。
圖2
在物理實際中，我們碰到的很多噪聲信號可近似為寬平穩隨機過程（wide-sense stationary process）。有信號自相關函數的定義如圖3所示。
圖3
維納-辛欽定理（wiener khinchin theorem）揭示了自相關函數和信號的功率譜密度的關係，如圖4所示。信號x(t)的自相關函數和功率譜密度函數互為傅里葉變換對。並且當τ=0時，功率譜密度Sx(f)的頻域積分為Rx(0)，可以看做x(t)的平均功率如圖3所示。當然還有更特殊的case，如果信號x(t)均值為零，那麼Rx(0)還可以看做x(t)的方差（variance），這是一個比較特殊的結論。
圖4
圖3也算是功率譜密度的另一種計算方法，就是利用自相關函數進行傅里葉變換。
這裡需要說明的就是上述幾個概念之間的關係。這裡簡單總結了個表格如圖5所示。
圖5
對於功率譜密度，我們最熟悉的莫過於噪聲的PSD。例如熱噪聲，閃爍（1/f）噪聲，散粒（shot）噪聲。不同的噪聲類型的PSD不一樣。在電路中我們經常考慮在1單位電阻上的功率譜密度，所以在表示噪聲的功率譜密度是經常使用V^2/Hz的單位。其實比較符合PSD定義的單位還是W/Hz。也有轉化為對數座標的dBm/Hz等。
當然擴展一下，在電學以外，比如振動力學中研究隨機振動，會有位移PSD，速度PSD，加速度PSD，單位分別表示為m^2/Hz,(m/s)^2/Hz，(m/s^2)^2/Hz或者g^2/Hz。看來能夠研究的隨機變量或信號都可以有PSD的概念。想想也是，其實就是把一些隨機過程轉化到頻域通過PSD研究其確定性性質。
所以在你碰到像表示相位的功率譜密度時用到的rad^2/Hz單位時，也就不會覺得彆扭了。圖6中表格把一些經常用到的單位列了出來。比如dBm的單位，在射頻中大多是50歐姆的阻抗匹配的條件，對應0dBm就是約為223mV的電壓幅度。
圖6
實信號的PSD分佈通常關於頻率0左右偶對稱。這樣的正負頻率範圍的功率譜密度稱之為“雙邊”（Two-Side）PSD。當然我們也可以僅用正頻率範圍表示，這時候稱之為“單邊”（One-Side）PSD。如圖7所示。
圖7
如果“單邊”PSD關於某頻率f0左右對稱，如果把該頻率平移至頻率0Hz處，這種功率譜我們稱之為“單邊帶”（Single sideband）PSD。對於SSB PSD，我們可以進一步簡化為僅用正頻率表示。這時候稱之為“雙邊帶”（Double Sideband） PSD。
注意功率譜幅度的變化，將“雙邊”轉化為“單邊”時，功率譜密度需要加倍，也就是增加3dB。而從“單邊”轉化為“單邊帶”時，僅僅是載波頻率的平移，幅度功率譜幅度並不改變。而從“單邊帶”轉化為“雙邊帶”時，功率譜密度也需要增加3dB。
前邊敘述的幅度功率譜密度引申到相位噪聲上，同樣有相位功率譜密度的概念，也就是單位為rad^2/Hz。那麼相位功率譜密度Sφ(fφ)(fφ=f-fc，相位PSD可簡寫為Sφ(f))與幅度功率譜密度Sx(f)是什麼關係那？
在比較小的相位抖動（small phase fluctuation，|φe(t)|<<1 rad）的條件下，相位功率譜密度和幅度功率譜密度關係如圖8所示。圖8中描述了從幅度功率譜密度到相位功率譜密度到相位噪聲的過程。
圖8
對於包含n次諧波成分的相位噪聲功率譜和對應的n次諧波的頻譜的關係如圖9所示。
圖9
好了，這期內容就這麼多了，關於功率譜密度的內容，很多定義都容易把人繞暈，以上的內容可能我的理解也不是太全面。還是希望大家能夠多對比，去偽存真，能夠正確的理解和掌握才是關鍵。
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