通信中的调制，我们可以看作为在频域范围内的频谱搬移技术。

对于一个原始信号m(t)，我们加上一个直流分量A0，再乘以载波信号，就得到了调幅AM信号。

AM信号，之前的文章介绍过。

对于AM信号，其时域与频域的变化过程如图1所示。原始信号m(t)加上一个直流分量A0，然后再与载波相乘，得到已调信号Sam(t)；与之对应的，原始信号m(t)的频谱为M(ω),经过载波调制后，已调信号Sam(t)的频谱出现了搬移。

DSB信号

AM信号中，加一个直流分量A0。由"典型信号傅里叶变换"可知，直流分量的傅里叶变换为冲激函数，所以图1中，可以在频域中看到冲激(红色箭头)

为什么要加上一个直流分量？

这个直流分量的累加(需要满足一定的条件)，是保证已调制信号的包络与原始信号m(t)保持一致。然后通过简易的包络检波器进行检波。

现在我们把直流分量去掉，如图3所示

此时已调信号Sdsb(t)的包络已经不再与m(t)保持一致了，所以此时不能用包络解调器，而需要用相干解调器。

时域表达式可以写作

频域表达式为

截止目前，我们所说的基带信号频谱均是关于纵坐标轴(零点)对称的，因此会出现负频率。负频率只有数学上的意义，并不实际占用带宽。但是基带信号调制到高频之后，形成了关于Wc的对称频谱，原来的负频率是占用了实实在在的频率资源的。

我们把这种信号叫作双边带信号

DSB(Double Side Band)，Wc左边的边带叫下边带，Wc右边的边带叫上边带。我们在接收端，通过一些滤波操作，获取这些频谱信息，然后恢复出原始信号。

很明显，我们希望占用少量的带宽，就可以恢复出原来的信号。

因为频谱资源非常稀缺，在同一个频率段，如果张三用了，李四就不能用了，会造成相互间干扰！

双边带信号占用了两倍的频率资源，造成了浪费。

|那怎么办呢？最直接的办法就是把基带信号的频谱砍掉一半|

SSB信号

用阶跃函数可以实现这个目的，图像为

用两倍的阶跃函数与基带信号的频谱相乘，得到基带信号的单边带信号(SSB,Single Side Band)的频谱，

2倍因子是为了使信号的形式更简单（还有一层原因，是引入负频率后，原先正频率的幅度值降低一半，这里把负频率削去，自然要补上这一半）。调制到射频后，得到射频的单边带频谱，如图6所示。

上下边带的频谱是对称的，我们只要知道一个边带，其他的信息自然就知道了。

Hilbert变换

图6已经清楚的描述了M(w)被"削"去一半边带的过程。那么其时域的情况呢？

根据傅里叶变换的性质，频域相乘对应时域卷积，我们得到

根据之前班长与大家所述的内容，阶跃函数的傅里叶变换为

那么根据傅里叶变换的对称与尺度特性

最终可以得出频域阶跃函数的时域表达式。

那么，

我们做一个定义

可以认为信号s(t)经过一个系统后的响应，系统的冲激响应为h(t)=1/πt。

在零点处，可以认为h(t)=0，如图8所示。这个系统有一个专门的名字叫作希尔伯特变换。

没错，我们在推导SSB信号的时域表达式时，不小心"发现"了希尔波特变换。

频域表达式可以写成

频域乘积，时域卷积，可以得出

根据两种不同的表达形式，我么可以得出希尔伯特变换的频域特性：

也可以直接通过冲激响应h(t)=1/πt，取傅里叶变换得出。这个积分需要一定技巧。

我们知道引入虚数j，可以更加方便的表达旋转。

所以从频域响应可以看出，希尔伯特变换不会改变幅度值，对于正频率w>0，相移-90度；对于负频率w<0，相移+90度；

图8描述了对信号进行4次希尔伯特变换，频域的变化过程。每一次在时域进行希尔伯特变换，那么在频域就出现一次90度相位翻转。二次希尔伯特变换后，得到了原频域信号的相；四次希尔伯特变换后，恢复原频域信号。

|希尔伯特的逆变换|

很明显，如果我知道一个信号的希尔伯特变换，那么我们再对他进行一次希尔伯特变换，然后再求傅里叶反变换，就可以得到原始的时域信号了。

总结

到这里，我们知道对于一个双边带信号m(t)，只需要加上自身的希尔伯特变换，就可以得到单边带信号SSB了，

此时，节省了一半带宽。

更为一般的，实数信号x(t)，Hilbert变换信号为x~(t),那么把两者相加，

得到的信号我们叫做解析信号。

有SSB推导过程看出，解析信号的频谱只有正频段且幅度值为原来的两倍，实现了信号由双边谱转换成单边谱。

将实数信号变换成解析信号的结果就是，把一个一维的信号变成了二维复平面上的信号，复数的模和幅角代表了信号的幅度和相位，如图9所示。

欧拉公式表明，复指数信号e^jx可以表示成一个实数信号和一个虚数信号的和的形式，看着和解析信号是多么的相似啊！

欧拉公式实际上是一种特殊的，或者说，最简单的Hilbert变换。