前言
說到正則化大家應該都不陌生，這個在機器學習和深度學習中都是非常常見的，常用的正則化有
L1正則化和L2正則化。提到正則化大家就會想到是它會將權重添加到損失函數計算中來降低模型過擬合的程度。瞭解更多一點的同學還會說，L1正則化會讓模型的權重參數稀疏化(部分權重的值為0)，L2正則化會讓模型的權重有趨於0的偏好(部分權重趨於0)。不知道大家有沒有想過為什麼L1正則化會讓部分權重的值為0？為什麼L2正則化會讓權重會有偏向於0？為什麼正則化可以防止過擬合？正則化是究竟是怎麼來的？ 帶著這些問題，我們來看這片文章，會幫助大家一一解答。
正則化的由來
在介紹正則化之前，我們先來看一張圖
正則化效果圖
在上圖中我們繪製了三條不同的曲線y1、y2、y3，從曲線函數值的變化不難看出，y1的函數值變化最大，y2和y3的函數值變化相對來說要平緩一些。通過函數的表達式可以看出，y2相對於y1來說自變量的係數值變小了，y3相對y1來說自變量少了一個，我們可以理解為少的那個自變量的係數為0。
通常如果函數的取值變化的幅度更大，我們會認為函數更復雜，函數的方差更大。所以，上面的三個函數中，函數y1的複雜度最高。通過函數圖像可以發現，降低自變量的係數值，或者減少函數自變量的個數(自變量的係數為0)是可以降低函數複雜度的。
在構建模型之前，我們是不知道數據的分佈，如果模型過於簡單就會導致欠擬合，如果模型過於複雜就會過擬合。通常我們為了模型能夠更好的擬合數據都是使得模型處於過擬合，為了降低模型的過擬合就需要使得模型部分權重為0或者降低模型的權重，所以我們會為損失函數添加一個懲罰項，數學表達式如下
帶正則化的目標函數
上式中的J(θ;X,y)表示原目標函數(沒有添加正則化)，Ω(θ)表示模型參數的懲罰項，懲罰項係數α∈[0,∞)，α越大表示正則化懲罰越大。
需要注意：我們在對模型的參數做懲罰的時候，其實只是添加了模型的權重參數並不包括偏置參數，因為模型的偏置參數數量相對於權重參數數量來說要少的多，而且每個權重參數會指定兩個變量如何相互作用，而偏置只是控制一個單一的變量，所以我們不對偏置做正則化也不會導致太大的方差。而且，如果對偏置進行正則化可能會導致明顯的欠擬合。
上式中的參數θ包含了權重和偏置，而我們只需要對權重做正則化。所以，L1正則化和L2正則化可以改成如下表達式
L1正則化和L2正則化
正則化的影響
在正則化的由來中，我們直觀的介紹了為什麼需要加入正則化？接下來我們來介紹一下為什麼L1正則化會使得模型的部分參數為0，L2正則化會使得模型的參數趨於0。為了更好幫助大家理解和證明，首先通過圖解來進行解釋，然後再通過公式推導證明
- 直觀理解
為了幫助大家從直觀上理解正則化的效果，接下來我們將通過畫圖來觀察L1正則化和L2正則化的效果
前面我們介紹了正則化其實就是在原目標函數的基礎上多增加了一項參數的懲罰項，目的就是為了不讓網絡的參數過大而導致模型過擬合，所以我們其實可以將正則化後的目標函數理解為在最小化原目標函數的基礎上多增加了一個參數的約束函數，對於約束函數的要求就是它需要小於某個常數C
帶約束的目標函數
- L1正則化
我們將L1正則化效果等價於求原目標函數的最小值和對權重參數的約束函數，這裡為了便於作圖我們只考慮二維情況
二維的L1正則化
根據上兩個式子，我們可以繪製出線性規劃圖如下
L1正則化
上圖中的藍色橢圓表示的是原目標函數的等高線，紅色矩形表示的是權重的約束函數，圖中的紅色箭頭表示的是約束函數的法向量，其中藍色箭頭表示的是原目標函數在該點的梯度方向(等高線的梯度方向與它的法向量方向一致)
由於約束函數的限制導致ω只能在紅色矩形的邊上進行移動來尋找最佳的ω∗。當ω處於上圖中的位置時，將原目標函數的梯度分解為沿約束函數的切線方向(即矩形的邊)和法線方向，為了使得原目標函數取得最小值此時需要沿著梯度在約束函數的切線方向 (左上方)移動。當ω移動到ω′時，通過分解原代價函數的梯度可以發現，為了使得取得原代價函數的最小值應該沿著右上方移動，所以最終最優的ω∗應該為矩形的頂點位置。
通過觀察可以發現此時ω∗在座標軸ω1方向的取值為0，最優點會落在某些軸上導致部分權重為0，這也就是為什麼L1正則化會使得部分權重參數稀疏的原因。
- L2正則化
同樣，我們按照分析L1正則化的思路進行分析
二維的L2正則化
L2正則化
上圖中藍色橢圓表示是原目標函數的等高線，紅色圓表示的是權重的約束函數 它的半徑是√C，其中藍色箭頭表示的是原目標函數在該點的梯度方向，紅色箭頭表示的是約束函數在該點的法向量，綠色箭頭表示的是約束函數在該點的切線方向。
還是按照上面的思想我們將梯度按切線方向和法線方向進行分解，為了使得原代價函數取得最小值，我們需要將ω按切線方向進行移動，當移動到ω∗時，梯度方向與切線方向垂直時梯度沿切線方向的分量為0，此時原代價函數取得最小值，所以ω∗為最優點。
通過觀察上圖可以發現，此時ω1的取值接近於0，因為最優點會靠近某些軸，導致部分權重取值接近於0，這也就是為什麼
L2正則化會使得部分權重趨於0的原因。2.公式推導證明
- L2正則化
L2正則化也被稱為權重衰減或嶺迴歸，在神經網絡中也被經常用到，因為它會使得部分權重向零點靠近(使得部分權重的取值趨於0)。為了更好的觀察L2正則化的影響，接下來我們觀察一下在添加罰項之後，權重參數是如何更新的
帶L2正則化目標函數的梯度
使用單步梯度下降更新權重，更新公式如下：
L2正則化單步權重更新過程
上式中的，ϵ指的是學習率，α指的是權重衰減係數，這兩個參數通常都是小於1的。
通過單步的權重的梯度更新公式可以發現，
上面只是一個單步的權重更新過程，接下來我們推導一下在整個訓練過程中，權重的更新過程，為了簡化分析我們假設ω∗為J(ω)取得最小值時的權重向量，根據泰勒公式
泰勒公式
假設J(ω)二階可導，我們對其進行二次近似的泰勒展開則有
原目標函數的泰勒展開
為了讓J^(ω)取得最小值，我們
令其導數為0，因為J(ω∗)為常數，所以它的導數為0，我們就直接省略了
上式中的I表示的是單位矩陣，通過上式不難發現，當正則化的懲罰項係數α為0時，此時
ω˜的最優解就等於ω∗，接下來我們討論一下當懲罰項係數不為0的時。因為H是J在ω∗的Hessian矩陣，所以H是一個對稱矩陣，我們可以對其做特徵分解，可得H=QΛQT(後面是Q的轉置)，其中Λ為對角矩陣，Q為一組特徵向量的標準正交基，代入上式可得
L2正則化權重最優解推導
通過上面的式子可以發現，L2正則化的效果就是沿著H矩陣特徵向量所定義的軸縮放未正則化J(ω)的解ω∗。因為I是單位矩陣，我們可以將縮放的係數改成這種形式
，其中λi指的是矩陣H的特徵向量每個軸值的大小 ，也就是特徵分解之後特徵值的大小。
通過修改後的衰減係數不難發現，當特徵值λi≫α時，此時α的影響可以忽略不計，正則化的縮放係數會趨於1，正則化基本沒有影響。當特徵值λi≪α時，可以將縮放係數改為
，因為
α≫λi所以α/λi≫1，所以縮放係數λi/α≪1，縮放係數趨於0使得權重也會趨於0。- L1正則化
上面我們推導了添加了L2正則化之後對權重的影響，通過最後推導得到式子可以解釋為什麼l2正則化會讓權重趨於0。接下來，我們以類似的方式來推導L1正則化對於權重的影響
上式中的sign函數為符號函數，函數圖像如下
符號函數(sign)
當函數輸入值x<0時輸出值恆等於-1，輸入值為0時輸出值也等於0，輸入值x>1時輸出值恆等於1，sign函數經常被用來表示階躍函數
我們將J(ω;X,y)使用二階的泰勒展開式來代替，可以將L1正則化後的代價函數轉換為如下形式
接下來我們看看如何求解ωi，上式中的J(ω∗)是常數我們不用考慮，主要考慮求和式中的二次項式和絕對值式來使得整個目標函數取得最小值，為了求得後兩項和的最小值，我們對其求導並令求導後的結果等於0來求ωi
我們可以將上式中ωi分為兩種情況，第一種是ωi和ω∗同號即sign(ωi)=sign(ωi∗)，第二種是ωi和ω∗異號即sign(ωi)≠sign(ω∗i)，我們先討論第一種情況，為了幫助大家理解我們可以看看下圖
通過上圖可以發現，當ωi與ω∗異號時，無論是哪種情況為了使得損失函數最小，其最優值都是ωi=0此時能保證代價函數的二次項式和絕對值式都取得最小值。
當ωi和ω∗同號時，可以將上式進行化簡可得
所以，我們可以合併上式的結果得到最終的ωi的表達式為
ωi解析解
總結
我們通過畫圖和使用公式推導證明了L1正則化和L2正則化產生不同效果的原因，需要注意的是它們的共同點其實都是在衰減對於代價函數的值變化影響相對較小的權重，也就是特徵值小的權重，而L1正則化的效果是會使得這部分權重為0，L2正則化會使得它們趨於0。
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