1900年，德國數學家希爾伯特在巴黎舉行的國際數學家大會上提出了23個數學問題，認為這些是人類在20世紀裡應該努力去解決的問題。這23個數學難題中，既包括“兩個等底等高的四面體體積相等”這樣一經提出便獲證明的命題，也包括“哥德巴赫猜想”這樣至今未獲完全證明的難題。
哥德巴赫猜想
哥德巴赫猜想是我們大多數人都聽說過的一個數學難題。
1742年6月7日，哥德巴赫在給歐拉的信中提出了以下猜想：任何大於1的奇數都是三個質數之和（當時1被人們定義為質數）；歐拉則在回信中提出了“哥德巴赫猜想”如今常見的表述：任何大於2的偶數都可寫成兩個質數之和。
近兩百年過去，所有的數論專家對這個猜想的證明都沒有作出實質性的推進，直到20世紀才有所突破。1937年蘇聯數學家維諾格拉多夫，用他創造的“三角和”方法，證明了“任何大奇數都可表示為三個質數之和”。不過，維諾格拉多夫的所謂大奇數要求大得出奇，與哥德巴赫猜想的要求仍相距甚遠。
直接證明哥德巴赫猜想不行，人們採取了“迂迴戰術”，就是先考慮把偶數表為兩數之和，而每一個數又是若干素數之積。如果把命題“每一個大偶數可以表示成為一個素因子個數不超過a個的數與另一個素因子不超過b個的數之和”記作“a+b”，那麼哥氏猜想就是要證明"1+1"成立。
最佳的結果是中國數學家陳景潤於1966年證明的，稱為陳氏定理：“任何充份大的偶數都是一個質數與一個自然數之和，而後者僅僅是兩個質數的乘積。” 通常都簡稱這個結果為大偶數可表示為 “1+2 ”的形式。
近代數學史上，除哥德巴赫猜想之外，還有兩大猜想非常著名。如今，它們都已經是定理了。
費馬大定理
皮埃爾·德·費馬，法國律師和業餘數學家。雖然他的主業是一名律師，但他在數學上的成就絲毫不比那些職業數學家遜色。在數論領域中，費馬的巨大成果主要是費馬大定理和費馬小定理。其中以費馬大定理最為著名。
1637年左右，費馬在閱讀丟番圖《算術》的拉丁文譯本時，曾在第11卷第8命題旁寫道：“將一個立方數分成兩個立方數之和，或一個四次冪分成兩個四次冪之和，或者一般地將一個高於二次的冪分成兩個同次冪之和，這是不可能的。關於此，我確信已發現了一種美妙的證法，可惜這裡空白的地方太小，寫不下。”（不知道你有沒有興趣將這句話用在數學試卷上，當然我猜想老師是不會給你分的。）
這就是著名的費馬大定理：當整數n>2時，關於x，y，z的方程沒有正整數解。
費馬究竟有沒有證明費馬大定理，至今是人們津津樂道的話題。費馬大定理被提出後，經歷多人猜想辯證，歷經三百多年的歷史，才於1995年由英國數學家懷爾斯證明，且其證明的過程相當艱深。
歷史上，關於費馬大定理的故事相當之多。比如：德國實業家沃爾夫斯凱爾，年輕時曾為情所困決意在午夜自殺，但在臨自殺前，他讀到庫默爾論述柯西和拉梅證明費馬大定理錯誤的文章，於是情不自禁地計算到天明。
設定的自殺時間過了，他也放不下問題的證明，於是放棄了自殺的想法。後來數學讓他重生併成為大富豪。
四色定理
“四色猜想”於1852年被提出，其通俗的說法是：每個平面地圖都可以只用四種顏色來著色，而且沒有兩個相鄰的區域顏色相同。
1976年6月，在美國伊利諾斯大學的兩臺不同的電子計算機上，用了1200個小時，作了100億個判斷，結果沒有一張地圖是需要五色的，最終證明了四色定理，轟動了世界。
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