05.16 基本圖形分析法：等腰三角形（二）

當幾何問題中出現了兩條具有公共端點且不在一直線上的相等線段時，無論它們是在條件中出現還是在結論中出現，就應萌發應用等腰三角形的基本圖形進行證明的意識。然後就應將這兩條具有公共端點的相等線段組成等腰三角形，如果圖形中尚未出底邊的，就應將底邊添上。接下來就應應用等腰三角形中兩條邊相等和相對應的兩個角相等之間的等價關係，將要證明的結論轉化為要證明它的等價性質，或者由條件直接推得它的等價性質成立。若圖形中出現了等腰三角形頂角的外角時，則應將兩內角之間的相等關係轉化為等價的外角與不相鄰的內角之間的倍半關係來進行證明。

例1 如圖3-5，已知：△ABC內接於⊙O ，過A、C、O三點作⊙O′交BC於D，求證：DA=DB。

圖3-5

分析：本題要證明的結論DA=DB，是兩條線段公共端點D的相等線段，所以就可以組成一個等腰三角形的基本圖形，問題也就成為一個等腰三角形的判定問題。由於條件中還出現B、D、C成一直線，出現了∠ADC是這個要證明的等腰三角形的頂角的外角，所以要證明DA=DB，就可以轉化為要證它的等價性質∠ADC=2∠B。

在這裡出現了∠B的兩倍角關係，而∠B在⊙O 中是一個圓周角，所以就出現了圓周角的兩倍問題。而根據圓周角的性質可知圓周角的兩倍角應等於它所對的弧所對的圓心角，但現在∠B所對的弧AC所對的圓心角在圖形中尚未出現，所以應將它添上，這樣就可以根據圓心角的定義聯結AO、CO（如圖3-6），於是就有∠AOC=2∠B，接下來的問題當然就是要證明∠AOC=∠ADC。由於這兩個角都是⊙O′的圓周角，所以可應用圓周角的基本圖形的性質進行證明，也就是由A、O、D、C四點共圓即可證明∠AOC=∠ADC，從而完成分析（如圖3-7）。

圖3-6

圖3-7

例2 如圖3-8，已知：△ABC中，∠B=2∠C，AD是角平分線，求證AC=AB+BD。

圖3-8

分析：本題要證明的結論AC=AB+BD是一條線段等於兩條線段的和的問題，所以可根據線段和的定義將AB和BD這兩條線段接起來，證明所得到的線段與AC相等。將AB和BD這兩條線段接起來有兩種可能，一種是將AB接到BD上，另一種是將BD接到AB上，所以接下來可對這兩種可能情況分別進行討論：

若考慮將AB接到BD上，則延長DB到E使BE=BA（如圖3-9）。這樣就出現BE、BA是兩條具有公共端點的相等線段，所以它們可以組成一個等腰三角形，由於這個等腰三角形還只出現兩條腰而沒有底邊，所以應將底邊添上，也就是聯結AE（如圖3-10），那麼∠E就等於∠BAE，又因為E、B、C成一直線，出現了這個等腰三角形的頂角的外角，所以應用等腰三角形的基本圖形性質可得∠ABC=2∠E，而已知∠B=2∠C，從而就可推得∠E=∠C，於是△AEC也是一個等腰三角形，AE=AC。由於在將AB接到BD上後，有ED=EB+BD=AB+BD，所以問題是要證明AC=ED。而我們已經證明了AE=AC，這樣問題又成為要證ED=EA。這又是兩條具有公共端點E的相等線段，它們又可以組成一個等腰三角形，又成為一個等腰三角形的判定問題，所以要證明ED=EA，就可以轉而證明它的等價性質∠EDA=∠EAD。由於∠EAD可以看作是∠EAB和∠BAD的和，又由E、D、C成一直線，又可得∠EDA可以看作是△ADC的一個外角，所以∠EDA=∠C+∠DAC，而由條件∠BAD和∠DAC是相等的，所以現在只需證明∠EAB=∠C，但由於這兩個角都與∠E相等，所以這兩個角自然就相等，從而完成分析（如圖3-11）。

圖3-9

圖3-10

圖3-11

若考慮將BD接到AB上，則延長AB到E使BE=BD（如圖3-12），這樣就出現了BE、BD是兩條具有公共端點的相等線段，所以它們也可以組成一個等腰三角形，現在這個等腰三角形也是隻有兩條腰而沒有底邊，所以應將底邊添上，也就是連接ED（如圖3-13），又因為A、B、E成一直線，出現了這個等腰三角形的頂角的外角，所以應用等要三角形的基本圖形的性質可得∠ABD=2∠E。由於條件中給出了∠B=2∠C，所以可得∠E=∠C。

圖3-12

圖3-13

現在我們將BD接到AB上以後，要證的結論就可轉化成AC=AB+BE=AE。由條件AD是角平分線，所以AE和AC這兩條要證明相等的線段就是關於AD成軸對稱的，從而就可應用一次軸對稱型全等三角形進行證明，由於AE和AC可以看作是△AED和△ACD的一組對應邊，而在這兩個三角形中已經出現了∠EAD=∠CAD、∠E=∠C和AD=AD的條件，這兩個三角形必定全等，所以分析就可以完成。

由於本題要證明的結論中出現的是兩條線段的和的問題，所以也可以根據線段和差的逆運算關係，將結論轉化為線段差的形式，再根據線段差的定義來進行分析。於是首先將結論轉化成AB=AC-BD。從而就可以在AC上截取AE，使AE=AB（如圖3-14），那麼問題就是要證留下來的線段CE與BD相等。而在作了兩條相等線段是關於角平分線AD成軸對稱的，所以就可添加一對軸對稱型全等三角形進行證明，但在這兩個全等三角形中有一個尚未出現，於是就應先將這個三角形添出，也就是連接DE（如圖3-15），這樣即可證明△ADB≌△ADE，BD=ED，這樣問題就轉化為要證CE=ED。由於這是兩條具有公共端點的要證明的相等線段，它們就可以組成一個等腰三角形，從而就成為一個等腰三角形的判定問題，又因為C、E、A成一直線，出現了要判定的這個等腰三角形的頂角的外角，所以要證明CE=ED，就可轉化成應證它的等價性質∠AED=2∠C，而已知∠B=2∠C，所以問題歸結到需要∠B=∠AED成立，而這兩個角是前述已經證明的一對全等三角形的對應角，當然相等，所以分析就可以完成。（如圖3-16）

圖3-14

圖3-15

圖3-16